Номер 4, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §39. ч. 1 - номер 4, страница 281.

4. Чему равен $\lim_{x \to +\infty} a^x$, если $0 < a < 1$?

Для нахождения предела $ \lim_{x \to +\infty} a^x $ при условии $ 0 < a < 1 $, рассмотрим поведение показательной функции $ f(x) = a^x $.

Условие $ 0 < a < 1 $ означает, что основание степени $ a $ является положительным числом, меньшим единицы (например, $ a = 1/2 $, $ a = 0.1 $ и т.д.). Когда мы возводим такое число в степень, которая стремится к плюс бесконечности ($ x \to +\infty $), результат будет становиться все меньше и меньше, стремясь к нулю.

Проиллюстрируем это на примере. Пусть $ a = \frac{1}{2} $:

• При $ x=1 $, $ (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2} = 0.5 $
• При $ x=2 $, $ (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25 $
• При $ x=3 $, $ (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0.125 $
• При $ x=10 $, $ (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024} \approx 0.000976 $

Как видно из примера, с неограниченным увеличением $ x $ значение $ a^x $ уменьшается и приближается к нулю.

Формально это можно доказать следующим образом. Поскольку $ 0 < a < 1 $, мы можем представить $ a $ в виде $ a = \frac{1}{b} $, где $ b > 1 $. Тогда предел можно переписать:

$ \lim_{x \to +\infty} a^x = \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{b})^x = \lim_{x \to +\infty} \frac{1^x}{b^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{b^x} $

Так как $ b > 1 $, то при $ x \to +\infty $, знаменатель $ b^x $ стремится к бесконечности ($ b^x \to +\infty $). Когда числитель дроби является константой (в данном случае 1), а знаменатель неограниченно возрастает, вся дробь стремится к нулю.

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{b^x} = 0 $

Графически, функция $ y = a^x $ при $ 0 < a < 1 $ является убывающей, и ось абсцисс ($ y=0 $) служит для нее горизонтальной асимптотой при $ x \to +\infty $. Таким образом, искомый предел равен нулю.

Ответ: $ \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 $.