Номер 3, страница 267, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §38 - номер 3, страница 267.

Условие.

3. Попробуйте устно найти наибольшее значение функции

$y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & 0 \le x \le 1, \\ 2 - x, & x > 1. \end{cases}$

Есть ли у неё наименьшее значение?

Решение 6.

Попробуйте устно найти наибольшее значение функции

Для нахождения наибольшего значения проанализируем поведение функции на каждом из двух участков её определения.

На отрезке $0 \le x \le 1$ задана функция $y = \sqrt[3]{x}$. Эта функция является возрастающей. Следовательно, её наибольшее значение на данном отрезке достигается в его правом конце, то есть в точке $x = 1$. Это значение равно $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$.

На интервале $x > 1$ задана функция $y = 2 - x$. Это линейная функция, её график — прямая с отрицательным угловым коэффициентом, поэтому функция является убывающей. При $x$, приближающемся к 1 справа, значение функции стремится к $2 - 1 = 1$. Так как $x > 1$, то $y = 2 - x < 1$. То есть на этом интервале все значения функции строго меньше 1.

Объединяя результаты, видим, что наибольшее значение функции достигается в точке $x=1$ и равно 1.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1.

Есть ли у неё наименьшее значение?

Для ответа на этот вопрос также проанализируем поведение функции на двух участках.

На отрезке $0 \le x \le 1$ функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает от $y(0) = \sqrt[3]{0} = 0$ до $y(1) = 1$. Наименьшее значение на этом участке равно 0.

На интервале $x > 1$ функция $y = 2 - x$ убывает. При увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Например, при $x=10$, $y=-8$; при $x=100$, $y=-98$. Формально, предел функции при $x$, стремящемся к бесконечности, равен минус бесконечности: $\lim_{x \to \infty} (2 - x) = -\infty$.

Это означает, что область значений функции не ограничена снизу. Функция может принимать сколь угодно малые значения. Следовательно, у функции нет наименьшего значения.

Ответ: Нет, у функции нет наименьшего значения.