Номер 2, страница 258, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §37. ч. 1 - номер 2, страница 258.

2. Какова область допустимых значений переменной в выражении $ (a - 2)^{\frac{2}{3}} $?

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех значений переменной, при которых данное выражение определено (имеет смысл).

Рассмотрим выражение $(a - 2)^{\frac{2}{3}}$.

Выражение вида $x^{\frac{m}{n}}$, где $\frac{m}{n}$ — рациональный показатель, можно представить в виде корня: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

Применим это определение к нашему выражению. Здесь основание степени $x = a - 2$, а показатель степени — дробь $\frac{2}{3}$, где числитель $m=2$ и знаменатель $n=3$.

$(a - 2)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(a - 2)^2}$

Теперь найдем область определения для выражения с корнем $\sqrt[3]{(a - 2)^2}$.

Показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Корень нечетной степени существует для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение в нашем случае — это $(a - 2)^2$. Это выражение определено для любого действительного значения переменной $a$. Более того, результат возведения в квадрат, $(a - 2)^2$, всегда является неотрицательным числом: $(a - 2)^2 \geq 0$.

Поскольку кубический корень можно извлечь из любого действительного числа (как положительного, так и отрицательного, и нуля), а подкоренное выражение $(a - 2)^2$ определено для всех $a$, то и всё выражение $\sqrt[3]{(a - 2)^2}$ определено для любого действительного значения $a$.

Таким образом, область допустимых значений переменной $a$ не имеет ограничений.

Ответ: $a$ — любое действительное число, или $a \in (-\infty; +\infty)$.