Страница 258, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое $a^{\frac{p}{q}}$, где $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $a \ge 0$?

1. Выражение $a^{\frac{p}{q}}$ — это степень с рациональным (дробным) показателем. По определению, для любого неотрицательного числа $a \ge 0$ и любых натуральных чисел $p$ и $q$ (где $q \ge 2$), степенью числа $a$ с показателем $\frac{p}{q}$ называется корень $q$-й степени из $a$ в степени $p$.

Это определение можно записать в виде формулы:

$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

В этой записи знаменатель дроби $q$ становится показателем корня, а числитель $p$ — показателем степени подкоренного выражения.

Существует также равносильная форма записи, которая часто более удобна для вычислений. Сначала можно извлечь корень, а затем возвести в степень:

$a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$

Ограничение $a \ge 0$ важно, потому что корень четной степени из отрицательного числа не определен в области действительных чисел. Если показатель степени — это дробь с нечетным знаменателем, то основание $a$ может быть и отрицательным, но в общем случае принято определение для $a \ge 0$.

Если числитель $p$ является отрицательным целым числом (например, показатель $-\frac{p}{q}$), то для $a > 0$ справедливо свойство:

$a^{-\frac{p}{q}} = \frac{1}{a^{\frac{p}{q}}} = \frac{1}{\sqrt[q]{a^p}}$

Пример: Вычислим $8^{\frac{2}{3}}$.

По формуле $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$ имеем:

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

По формуле $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$ имеем:

$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: Степенью числа $a \ge 0$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ (где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, $q \ge 2$) называется число, равное корню $q$-й степени из числа $a$ в степени $p$. То есть, $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.

2. Какова область допустимых значений переменной в выражении $ (a - 2)^{\frac{2}{3}} $?

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех значений переменной, при которых данное выражение определено (имеет смысл).

Рассмотрим выражение $(a - 2)^{\frac{2}{3}}$.

Выражение вида $x^{\frac{m}{n}}$, где $\frac{m}{n}$ — рациональный показатель, можно представить в виде корня: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

Применим это определение к нашему выражению. Здесь основание степени $x = a - 2$, а показатель степени — дробь $\frac{2}{3}$, где числитель $m=2$ и знаменатель $n=3$.

$(a - 2)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(a - 2)^2}$

Теперь найдем область определения для выражения с корнем $\sqrt[3]{(a - 2)^2}$.

Показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Корень нечетной степени существует для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение в нашем случае — это $(a - 2)^2$. Это выражение определено для любого действительного значения переменной $a$. Более того, результат возведения в квадрат, $(a - 2)^2$, всегда является неотрицательным числом: $(a - 2)^2 \geq 0$.

Поскольку кубический корень можно извлечь из любого действительного числа (как положительного, так и отрицательного, и нуля), а подкоренное выражение $(a - 2)^2$ определено для всех $a$, то и всё выражение $\sqrt[3]{(a - 2)^2}$ определено для любого действительного значения $a$.

Таким образом, область допустимых значений переменной $a$ не имеет ограничений.

Ответ: $a$ — любое действительное число, или $a \in (-\infty; +\infty)$.

3. Что такое $a^{\frac{p}{q}}$, где $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $a > 0$?

Выражение $a^{\frac{p}{q}}$ представляет собой степень с рациональным показателем. Здесь $a$ — это основание степени, а $\frac{p}{q}$ — это показатель степени, который является обыкновенной дробью.

По определению, для любого положительного числа $a$ ($a > 0$), целого числа $p$ и натурального числа $q$ (где $q \ge 2$), степень $a$ с показателем $\frac{p}{q}$ равна корню $q$-й степени из числа $a$ в степени $p$.

Математически это записывается следующей формулой:

Рассмотрим компоненты этой формулы:
• $a$ — основание степени, должно быть положительным числом ($a > 0$). Это условие важно, так как корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел (например, $\sqrt{-4}$).
• $q$ — знаменатель дроби в показателе, он становится показателем корня (или степенью корня).
• $p$ — числитель дроби, он остается показателем степени, в которую возводится основание $a$.

Существует также эквивалентная форма записи, которая часто бывает удобнее для вычислений:

Эта формула означает, что можно сначала извлечь корень $q$-й степени из основания $a$, а затем возвести полученный результат в степень $p$.

Пример:
Давайте вычислим $27^{\frac{2}{3}}$.
Здесь $a = 27$, $p = 2$, $q = 3$.
Используя первую формулу: $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$.
Используя вторую, более удобную формулу: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.
Как видно, оба способа приводят к одному и тому же результату, но второй способ обычно требует вычислений с меньшими числами.

Таким образом, степень с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ — это способ компактно записать операцию извлечения корня и возведения в степень, обобщая понятие степени на дробные показатели.

Ответ: Степенью числа $a > 0$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ (где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число, $q \ge 2$) называется число, равное корню $q$-й степени из $a$ в степени $p$. То есть, по определению, $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.