Номер 3, страница 258, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §37. ч. 1 - номер 3, страница 258.

3. Что такое $a^{\frac{p}{q}}$, где $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $a > 0$?

Выражение $a^{\frac{p}{q}}$ представляет собой степень с рациональным показателем. Здесь $a$ — это основание степени, а $\frac{p}{q}$ — это показатель степени, который является обыкновенной дробью.

По определению, для любого положительного числа $a$ ($a > 0$), целого числа $p$ и натурального числа $q$ (где $q \ge 2$), степень $a$ с показателем $\frac{p}{q}$ равна корню $q$-й степени из числа $a$ в степени $p$.

Математически это записывается следующей формулой:

$$ a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} $$

Рассмотрим компоненты этой формулы:
• $a$ — основание степени, должно быть положительным числом ($a > 0$). Это условие важно, так как корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел (например, $\sqrt{-4}$).
• $q$ — знаменатель дроби в показателе, он становится показателем корня (или степенью корня).
• $p$ — числитель дроби, он остается показателем степени, в которую возводится основание $a$.

Существует также эквивалентная форма записи, которая часто бывает удобнее для вычислений:

$$ a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p $$

Эта формула означает, что можно сначала извлечь корень $q$-й степени из основания $a$, а затем возвести полученный результат в степень $p$.

Пример:
Давайте вычислим $27^{\frac{2}{3}}$.
Здесь $a = 27$, $p = 2$, $q = 3$.
Используя первую формулу: $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$.
Используя вторую, более удобную формулу: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.
Как видно, оба способа приводят к одному и тому же результату, но второй способ обычно требует вычислений с меньшими числами.

Таким образом, степень с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ — это способ компактно записать операцию извлечения корня и возведения в степень, обобщая понятие степени на дробные показатели.

Ответ: Степенью числа $a > 0$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ (где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число, $q \ge 2$) называется число, равное корню $q$-й степени из $a$ в степени $p$. То есть, по определению, $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.