Номер 2, страница 267, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §38 - номер 2, страница 267.

Условие.

2. Какие из перечисленных ниже степенных функций выпуклы вверх, а какие — выпуклы вниз:
$y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{-0,6}$, $y = x^{11}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-\frac{16}{7}}$, $y = x^{2,7}$, $y = x^{0,11}$?

Решение 6.

Для определения выпуклости степенной функции вида $y = x^a$ (при $x > 0$) необходимо найти ее вторую производную и определить ее знак.

Первая производная: $y' = (x^a)' = a \cdot x^{a-1}$.

Вторая производная: $y'' = (a \cdot x^{a-1})' = a \cdot (a-1) \cdot x^{a-2}$.

Поскольку для области определения $x > 0$, множитель $x^{a-2}$ всегда положителен, знак второй производной зависит только от знака выражения $a(a-1)$.

• Если $y'' > 0$, то есть $a(a-1) > 0$, функция является выпуклой вниз (вогнутой). Это условие выполняется, когда $a < 0$ или $a > 1$.
• Если $y'' < 0$, то есть $a(a-1) < 0$, функция является выпуклой вверх (выпуклой). Это условие выполняется, когда $0 < a < 1$.

Проанализируем каждую из заданных функций:

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Здесь показатель степени $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то выражение $a(a-1) = \frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1) = \frac{2}{3}(-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{9} < 0$. Следовательно, вторая производная отрицательна.
Ответ: функция выпукла вверх.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Здесь показатель степени $a = \frac{3}{2} = 1.5$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = \frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{-0.6}$

Здесь показатель степени $a = -0.6$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1) = -0.6(-0.6-1) = -0.6(-1.6) = 0.96 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{11}$

Здесь показатель степени $a = 11$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = 11(11-1) = 11 \cdot 10 = 110 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{-11}$

Здесь показатель степени $a = -11$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1) = -11(-11-1) = -11(-12) = 132 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Здесь показатель степени $a = -2\frac{2}{7} = -\frac{16}{7}$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1)$ будет положительным (произведение двух отрицательных чисел). Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{2.7}$

Здесь показатель степени $a = 2.7$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = 2.7(2.7-1) = 2.7 \cdot 1.7 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{0.11}$

Здесь показатель степени $a = 0.11$. Так как $0 < 0.11 < 1$, то выражение $a(a-1) = 0.11(0.11-1) = 0.11(-0.89) < 0$. Следовательно, вторая производная отрицательна.
Ответ: функция выпукла вверх.

Итог:

Выпуклы вверх: $y=x^{\frac{2}{3}}$, $y=x^{0.11}$.

Выпуклы вниз: $y=x^{\frac{3}{2}}$, $y=x^{-0.6}$, $y=x^{11}$, $y=x^{-11}$, $y=x^{-2\frac{2}{7}}$, $y=x^{2.7}$.