Номер 2, страница 267, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §38. ч. 1 - номер 2, страница 267.
№2 (с. 267)
Условие. №2 (с. 267)
скриншот условия

2. Какие из перечисленных ниже степенных функций выпуклы вверх, а какие — выпуклы вниз:
$y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{-0,6}$, $y = x^{11}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-\frac{16}{7}}$, $y = x^{2,7}$, $y = x^{0,11}$?
Решение 6. №2 (с. 267)
Для определения выпуклости степенной функции вида $y = x^a$ (при $x > 0$) необходимо найти ее вторую производную и определить ее знак.
Первая производная: $y' = (x^a)' = a \cdot x^{a-1}$.
Вторая производная: $y'' = (a \cdot x^{a-1})' = a \cdot (a-1) \cdot x^{a-2}$.
Поскольку для области определения $x > 0$, множитель $x^{a-2}$ всегда положителен, знак второй производной зависит только от знака выражения $a(a-1)$.
- Если $y'' > 0$, то есть $a(a-1) > 0$, функция является выпуклой вниз (вогнутой). Это условие выполняется, когда $a < 0$ или $a > 1$.
- Если $y'' < 0$, то есть $a(a-1) < 0$, функция является выпуклой вверх (выпуклой). Это условие выполняется, когда $0 < a < 1$.
Проанализируем каждую из заданных функций:
$y = x^{\frac{2}{3}}$
Здесь показатель степени $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то выражение $a(a-1) = \frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1) = \frac{2}{3}(-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{9} < 0$. Следовательно, вторая производная отрицательна.
Ответ: функция выпукла вверх.
$y = x^{\frac{3}{2}}$
Здесь показатель степени $a = \frac{3}{2} = 1.5$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = \frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.
$y = x^{-0.6}$
Здесь показатель степени $a = -0.6$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1) = -0.6(-0.6-1) = -0.6(-1.6) = 0.96 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.
$y = x^{11}$
Здесь показатель степени $a = 11$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = 11(11-1) = 11 \cdot 10 = 110 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.
$y = x^{-11}$
Здесь показатель степени $a = -11$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1) = -11(-11-1) = -11(-12) = 132 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.
$y = x^{-2\frac{2}{7}}$
Здесь показатель степени $a = -2\frac{2}{7} = -\frac{16}{7}$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1)$ будет положительным (произведение двух отрицательных чисел). Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.
$y = x^{2.7}$
Здесь показатель степени $a = 2.7$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = 2.7(2.7-1) = 2.7 \cdot 1.7 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.
$y = x^{0.11}$
Здесь показатель степени $a = 0.11$. Так как $0 < 0.11 < 1$, то выражение $a(a-1) = 0.11(0.11-1) = 0.11(-0.89) < 0$. Следовательно, вторая производная отрицательна.
Ответ: функция выпукла вверх.
Итог:
Выпуклы вверх: $y=x^{\frac{2}{3}}$, $y=x^{0.11}$.
Выпуклы вниз: $y=x^{\frac{3}{2}}$, $y=x^{-0.6}$, $y=x^{11}$, $y=x^{-11}$, $y=x^{-2\frac{2}{7}}$, $y=x^{2.7}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 267 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 267), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.