Номер 4, страница 267, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §38. ч. 1 - номер 4, страница 267.

4. Как найти производную функции $y = x^r$, где $r \in \mathbb{Q}$?

Чтобы найти производную функции $y = x^r$, где $r$ является рациональным числом ($r \in \mathbb{Q}$), используется метод, основанный на неявном дифференцировании. Процесс вывода формулы выглядит следующим образом.

1. Представление рационального показателя

Поскольку $r$ — рациональное число, его можно представить в виде дроби $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$). Тогда исходная функция принимает вид:

$y = x^{\frac{p}{q}}$

2. Переход к неявному заданию функции

Чтобы избавиться от дробного показателя, возведем обе части равенства в степень $q$:

$y^q = \left(x^{\frac{p}{q}}\right)^q$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$y^q = x^p$

Это уравнение неявно задает функцию $y$ как функцию от $x$.

3. Неявное дифференцирование

Теперь продифференцируем обе части уравнения $y^q = x^p$ по переменной $x$.

Для левой части, учитывая, что $y$ является функцией от $x$, применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и формулу производной степенной функции для целого показателя:

$\frac{d}{dx}(y^q) = q \cdot y^{q-1} \cdot \frac{dy}{dx}$

Для правой части применяем стандартную формулу производной степенной функции, так как $p$ — целое число:

$\frac{d}{dx}(x^p) = p \cdot x^{p-1}$

Приравнивая производные левой и правой частей, получаем:

$q \cdot y^{q-1} \cdot \frac{dy}{dx} = p \cdot x^{p-1}$

4. Нахождение производной и упрощение

Выразим искомую производную $\frac{dy}{dx}$ из полученного равенства:

$\frac{dy}{dx} = \frac{p \cdot x^{p-1}}{q \cdot y^{q-1}} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x^{p-1}}{y^{q-1}}$

Теперь подставим обратно выражение для $y$ из шага 1: $y = x^{\frac{p}{q}}$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x^{p-1}}{\left(x^{\frac{p}{q}}\right)^{q-1}}$

Упростим знаменатель дроби:

$\left(x^{\frac{p}{q}}\right)^{q-1} = x^{\frac{p}{q}(q-1)} = x^{p - \frac{p}{q}}$

Подставим упрощенное выражение обратно в формулу для производной:

$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x^{p-1}}{x^{p - \frac{p}{q}}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, завершим упрощение:

$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{(p-1) - \left(p - \frac{p}{q}\right)} = \frac{p}{q} \cdot x^{p - 1 - p + \frac{p}{q}} = \frac{p}{q} \cdot x^{\frac{p}{q} - 1}$

5. Итоговая формула

Вспомним, что $r = \frac{p}{q}$. Заменяя дробь обратно на $r$, получаем окончательную формулу:

$y' = (x^r)' = r \cdot x^{r-1}$

Таким образом, известная формула для производной степенной функции верна для любого рационального показателя.

Ответ: Производная функции $y = x^r$, где $r \in \mathbb{Q}$, находится по формуле $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$. Эта формула доказывается с помощью представления рационального показателя $r$ в виде дроби $p/q$ и применения метода неявного дифференцирования к уравнению $y^q = x^p$.