Номер 2, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §39. ч. 1 - номер 2, страница 281.

2. Что такое показательная функция?

Показательная функция — это функция, заданная формулой $y = a^x$. В этой формуле $x$ является независимой переменной (аргументом), которая находится в показателе степени, а $a$ — это постоянное число, называемое основанием степени.

Ключевым для определения показательной функции являются ограничения, накладываемые на основание $a$:

• Основание должно быть строго больше нуля: $a > 0$. Это условие необходимо, чтобы функция была определена для всех действительных значений $x$. Например, при отрицательном основании, как в выражении $(-4)^{1/2}$, результат не будет являться действительным числом.
• Основание не должно равняться единице: $a \neq 1$. Если $a = 1$, функция вырождается в постоянную $y = 1^x = 1$, график которой — прямая линия. Такая функция не проявляет характерного экспоненциального поведения.

Свойства показательной функции кардинально различаются в зависимости от величины основания $a$:

Случай 1: Основание больше единицы ($a > 1$)
В этом случае функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. График функции стремительно растет. Примеры: $y = 2^x$, $y = 10^x$, $y = e^x$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$)
В этом случае функция является монотонно убывающей. При увеличении $x$ значение $y$ уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Примеры: $y = (1/2)^x$, $y = (0.1)^x$.

Общие свойства для всех показательных функций:

• Область определения — множество всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений — множество всех положительных действительных чисел: $E(f) = (0; +\infty)$. Это значит, что график функции всегда находится выше оси абсцисс.
• График любой показательной функции проходит через точку $(0, 1)$, поскольку $a^0 = 1$ для любого разрешенного $a$.
• Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции.

Показательные функции играют важную роль в моделировании реальных процессов, таких как рост населения, радиоактивный распад, вычисление сложных процентов в финансовой математике и многие другие явления, где скорость изменения величины пропорциональна самой величине.

Ответ: Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где основание $a$ является постоянным положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а аргумент $x$ находится в показателе степени.