Номер 6, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §39 - номер 6, страница 281.

Условие.

6. В каком случае график показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, а в каком — при $x \to -\infty$?

Решение 6.

Показательная функция задается формулой $y = a^x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). Наличие и расположение горизонтальной асимптоты у графика этой функции зависит от значения основания $a$. Горизонтальная асимптота — это прямая вида $y=L$, к которой график функции неограниченно приближается, когда аргумент $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$. Это означает, что должен существовать конечный предел функции при стремлении $x$ к бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$. Для функции $y=a^x$ асимптотой всегда является ось Ox, то есть прямая $y=0$. Вопрос состоит в том, при каких значениях $a$ это происходит на положительной или отрицательной бесконечности.

В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$

График функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, если существует конечный предел $\lim_{x \to +\infty} a^x$.

Рассмотрим два возможных интервала для основания $a$:

• Если $a > 1$, функция является возрастающей. При неограниченном увеличении $x$, значение $a^x$ также неограниченно возрастает. Следовательно, $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$. Предел не является конечным числом, поэтому в этом случае горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. При неограниченном увеличении $x$, значение $a^x$ становится все меньше и стремится к нулю. Например, если $a=0.5$, то $0.5^2=0.25$, $0.5^3=0.125$, и т.д. Таким образом, $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$.

Итак, график функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$ в том случае, когда $0 < a < 1$.

Ответ: при $0 < a < 1$.

В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \to -\infty$

График функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to -\infty$, если существует конечный предел $\lim_{x \to -\infty} a^x$.

Снова рассмотрим два возможных интервала для основания $a$:

• Если $a > 1$, для нахождения предела при $x \to -\infty$ удобно сделать замену переменной $x=-t$, где $t \to +\infty$. Тогда предел примет вид: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{t \to +\infty} a^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{a^t}$. Поскольку $a>1$, знаменатель $a^t$ стремится к $+\infty$ при $t \to +\infty$, а значит, вся дробь стремится к 0. Таким образом, $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$.
• Если $0 < a < 1$, выполним ту же замену $x=-t$. Предел будет равен: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{t \to +\infty} a^{-t} = \lim_{t \to +\infty} (\frac{1}{a})^t$. Так как $0 < a < 1$, то основание новой степени $\frac{1}{a}$ будет больше 1. Следовательно, предел равен $+\infty$. Предел не является конечным числом, и горизонтальной асимптоты в этом случае нет.

Итак, график функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ в том случае, когда $a > 1$.

Ответ: при $a > 1$.