Номер 6, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §39. ч. 1 - номер 6, страница 281.
№6 (с. 281)
Условие. №6 (с. 281)
скриншот условия

6. В каком случае график показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, а в каком — при $x \to -\infty$?
Решение 6. №6 (с. 281)
Показательная функция задается формулой $y = a^x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). Наличие и расположение горизонтальной асимптоты у графика этой функции зависит от значения основания $a$. Горизонтальная асимптота — это прямая вида $y=L$, к которой график функции неограниченно приближается, когда аргумент $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$. Это означает, что должен существовать конечный предел функции при стремлении $x$ к бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$. Для функции $y=a^x$ асимптотой всегда является ось Ox, то есть прямая $y=0$. Вопрос состоит в том, при каких значениях $a$ это происходит на положительной или отрицательной бесконечности.
В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$
График функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, если существует конечный предел $\lim_{x \to +\infty} a^x$.
Рассмотрим два возможных интервала для основания $a$:
- Если $a > 1$, функция является возрастающей. При неограниченном увеличении $x$, значение $a^x$ также неограниченно возрастает. Следовательно, $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$. Предел не является конечным числом, поэтому в этом случае горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.
- Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. При неограниченном увеличении $x$, значение $a^x$ становится все меньше и стремится к нулю. Например, если $a=0.5$, то $0.5^2=0.25$, $0.5^3=0.125$, и т.д. Таким образом, $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$.
Итак, график функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$ в том случае, когда $0 < a < 1$.
Ответ: при $0 < a < 1$.
В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \to -\infty$
График функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to -\infty$, если существует конечный предел $\lim_{x \to -\infty} a^x$.
Снова рассмотрим два возможных интервала для основания $a$:
- Если $a > 1$, для нахождения предела при $x \to -\infty$ удобно сделать замену переменной $x=-t$, где $t \to +\infty$. Тогда предел примет вид: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{t \to +\infty} a^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{a^t}$. Поскольку $a>1$, знаменатель $a^t$ стремится к $+\infty$ при $t \to +\infty$, а значит, вся дробь стремится к 0. Таким образом, $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$.
- Если $0 < a < 1$, выполним ту же замену $x=-t$. Предел будет равен: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{t \to +\infty} a^{-t} = \lim_{t \to +\infty} (\frac{1}{a})^t$. Так как $0 < a < 1$, то основание новой степени $\frac{1}{a}$ будет больше 1. Следовательно, предел равен $+\infty$. Предел не является конечным числом, и горизонтальной асимптоты в этом случае нет.
Итак, график функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ в том случае, когда $a > 1$.
Ответ: при $a > 1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 281 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 281), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.