Номер 4, страница 286, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §40. ч. 1 - номер 4, страница 286.

4. Какое из двух утверждений верно, если $a > 1$:

а) неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

б) неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать свойства показательной функции $y = a^x$. Поведение этой функции зависит от значения ее основания $a$.

В условии задачи указано, что основание $a > 1$.

Когда основание показательной функции больше единицы ($a > 1$), функция является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение ее аргумента (показателя степени), и наоборот. При решении показательных неравенств с таким основанием знак неравенства сохраняется при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей.

Следовательно, для неравенства вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ при $a > 1$ равносильным будет неравенство $f(x) > g(x)$.

Теперь рассмотрим предложенные утверждения:

а) Утверждение, что неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$, является неверным. Такое преобразование (смена знака неравенства на противоположный) было бы верным для убывающей показательной функции, то есть при условии $0 < a < 1$.

б) Утверждение, что неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$, является верным. Это напрямую следует из свойства монотонного возрастания показательной функции с основанием $a > 1$.

Ответ: верно утверждение б).