Номер 2, страница 289, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §41. ч. 1 - номер 2, страница 289.

2. Объясните, почему:

а) $\log_a a = 1$;

б) $\log_a 1 = 0$;

в) $\log_a a^5 = 5$.

Для объяснения данных равенств мы будем использовать основное определение логарифма: логарифмом числа $b$ по основанию $a$ (обозначается как $ \log_a b $) называется такой показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

То есть, равенство $ \log_a b = c $ эквивалентно равенству $ a^c = b $, где $ a > 0 $, $ a \ne 1 $ и $ b > 0 $.

а)

Рассмотрим равенство $ \log_a a = 1 $. По определению логарифма, мы ищем такую степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $a$. Пусть $ \log_a a = x $. Тогда, согласно определению, это можно записать в виде показательного уравнения $ a^x = a $. Мы знаем, что любое число в первой степени равно самому себе, то есть $ a^1 = a $. Сравнивая левые и правые части уравнений $ a^x = a $ и $ a^1 = a $, мы приходим к выводу, что $ x = 1 $.

Ответ: $ \log_a a = 1 $

б)

Рассмотрим равенство $ \log_a 1 = 0 $. По определению, мы ищем такую степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число 1. Пусть $ \log_a 1 = y $. Тогда, согласно определению, это можно записать как $ a^y = 1 $. Из свойств степени известно, что любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как для основания логарифма выполняется условие $ a > 0 $ и $ a \ne 1 $, то $ a^0 = 1 $. Сравнивая уравнения $ a^y = 1 $ и $ a^0 = 1 $, получаем, что $ y = 0 $.

Ответ: $ \log_a 1 = 0 $

в)

Рассмотрим равенство $ \log_a a^5 = 5 $. По определению, мы ищем такую степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $ a^5 $. Пусть $ \log_a a^5 = z $. Тогда, по определению, это эквивалентно уравнению $ a^z = a^5 $. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, то и их показатели должны быть равны. Следовательно, $ z = 5 $. Данное равенство является прямым следствием одного из основных свойств логарифма: $ \log_a a^p = p $.

Ответ: $ \log_a a^5 = 5 $