Страница 289, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют логарифмом положительного числа $b$ по положительному и отличному от 1 основанию $a$? Как его обозначают?

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называется такой показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Обозначается логарифм как $ \log_a b $, где a — это основание, а b — это число (или аргумент) логарифма.

Таким образом, запись $ \log_a b = c $ является эквивалентной (равносильной) записи показательного уравнения $ a^c = b $. Например, $ \log_2 8 = 3 $, потому что $ 2^3 = 8 $.

Для существования логарифма необходимо выполнение следующих условий: число под логарифмом (аргумент) должно быть строго положительным ($ b > 0 $), а основание логарифма должно быть строго положительным и не равняться единице ($ a > 0 $, $ a \neq 1 $).

Из определения логарифма напрямую следует основное логарифмическое тождество, которое связывает логарифм с операцией возведения в степень:$ a^{\log_a b} = b $

Ответ: Логарифмом положительного числа $b$ по положительному и отличному от 1 основанию $a$ называют показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Обозначают его как $ \log_a b $.

2. Объясните, почему:

а) $\log_a a = 1$;

б) $\log_a 1 = 0$;

в) $\log_a a^5 = 5$.

Для объяснения данных равенств мы будем использовать основное определение логарифма: логарифмом числа $b$ по основанию $a$ (обозначается как $ \log_a b $) называется такой показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

То есть, равенство $ \log_a b = c $ эквивалентно равенству $ a^c = b $, где $ a > 0 $, $ a \ne 1 $ и $ b > 0 $.

Рассмотрим равенство $ \log_a a = 1 $. По определению логарифма, мы ищем такую степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $a$. Пусть $ \log_a a = x $. Тогда, согласно определению, это можно записать в виде показательного уравнения $ a^x = a $. Мы знаем, что любое число в первой степени равно самому себе, то есть $ a^1 = a $. Сравнивая левые и правые части уравнений $ a^x = a $ и $ a^1 = a $, мы приходим к выводу, что $ x = 1 $.

Ответ: $ \log_a a = 1 $

Рассмотрим равенство $ \log_a 1 = 0 $. По определению, мы ищем такую степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число 1. Пусть $ \log_a 1 = y $. Тогда, согласно определению, это можно записать как $ a^y = 1 $. Из свойств степени известно, что любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как для основания логарифма выполняется условие $ a > 0 $ и $ a \ne 1 $, то $ a^0 = 1 $. Сравнивая уравнения $ a^y = 1 $ и $ a^0 = 1 $, получаем, что $ y = 0 $.

Ответ: $ \log_a 1 = 0 $

Рассмотрим равенство $ \log_a a^5 = 5 $. По определению, мы ищем такую степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $ a^5 $. Пусть $ \log_a a^5 = z $. Тогда, по определению, это эквивалентно уравнению $ a^z = a^5 $. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, то и их показатели должны быть равны. Следовательно, $ z = 5 $. Данное равенство является прямым следствием одного из основных свойств логарифма: $ \log_a a^p = p $.

Ответ: $ \log_a a^5 = 5 $

3. Приведите два примера, когда $\log_a b$ — рациональное число.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Целые числа также являются рациональными, так как любое целое $p$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{1}$.

Логарифм $\log_a b$ является рациональным числом, если существуют такое число $c$ и такие целые числа $m$ и $n$ ($m \ne 0$), что основание $a$ и аргумент $b$ можно представить в виде степеней этого числа $c$: $a = c^m$ и $b = c^n$. В этом случае, значение логарифма будет равно:$\log_a b = \log_{c^m} (c^n) = \frac{n}{m} \log_c c = \frac{n}{m}$Результат $\frac{n}{m}$ является рациональным числом по определению.

Ниже приведены два примера, в которых логарифм является рациональным числом.

Пример 1

Рассмотрим логарифм $\log_2 8$. По определению логарифма, $\log_a b = x$ эквивалентно $a^x = b$.В нашем случае $a=2$, $b=8$. Найдем $x$:$2^x = 8$.Поскольку $8$ — это третья степень числа $2$ ($8=2^3$), мы можем переписать уравнение:$2^x = 2^3$.Отсюда следует, что $x=3$. Число $3$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$.

Ответ: $\log_2 8 = 3$.

Пример 2

Рассмотрим логарифм $\log_{81} 9$. Здесь основание $a=81$ и аргумент $b=9$. Найдем значение $x$, такое что:$81^x = 9$.Заметим, что и основание, и аргумент можно представить как степени одного и того же числа. В данном случае, оба числа являются степенями 9. Так как $81 = 9^2$, мы можем переписать уравнение:$(9^2)^x = 9^1$.Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:$9^{2x} = 9^1$.Приравнивая показатели степени, получаем уравнение:$2x = 1$.Решая его, находим $x = \frac{1}{2}$.Число $\frac{1}{2}$ является рациональным.

Ответ: $\log_{81} 9 = \frac{1}{2}$.

4. Приведите два примера, когда $ \log_a b $ — иррациональное число.

Чтобы найти примеры иррациональных логарифмов, воспользуемся определением рационального и иррационального числа, а также свойствами логарифмов.

Число $\log_a b$ является рациональным, если его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, а $q \neq 0$. Если $\log_a b = \frac{p}{q}$, то по определению логарифма $a^{\frac{p}{q}} = b$. Возведя обе части в степень $q$, получим $a^p = b^q$. Таким образом, логарифм рационален, если основание $a$ и число под логарифмом $b$ являются целыми степенями одного и того же числа.

Соответственно, число $\log_a b$ является иррациональным, если не существует таких целых $p$ и $q$, для которых выполняется равенство $a^p = b^q$. Это происходит, когда $a$ и $b$ нельзя представить как степени одного и того же числа. Самый простой способ подобрать такие числа — выбрать в качестве $a$ и $b$ разные простые числа или числа с разным набором простых множителей.

Пример 1

Рассмотрим число $\log_2 3$. Докажем, что оно иррациональное, методом от противного.

Предположим, что $\log_2 3$ — рациональное число. Тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа ($p, q \in \mathbb{N}$).

$\log_2 3 = \frac{p}{q}$

По определению логарифма, это равносильно равенству:

$2^{\frac{p}{q}} = 3$

Возведем обе части равенства в степень $q$:

$(2^{\frac{p}{q}})^q = 3^q$

$2^p = 3^q$

Полученное равенство не может быть верным для натуральных $p$ и $q$. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 раскладывается на простые множители единственным образом. В левой части равенства ($2^p$) единственным простым множителем является 2, а в правой части ($3^q$) — 3. Так как разложения на простые множители уникальны и различны, равенство невозможно.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше исходное предположение было неверным, и число $\log_2 3$ является иррациональным.

Ответ: $\log_2 3$

Пример 2

Рассмотрим число $\log_3 5$. Доказательство его иррациональности аналогично первому примеру.

Предположим, что $\log_3 5$ — рациональное число. Тогда $\log_3 5 = \frac{p}{q}$, где $p, q \in \mathbb{N}$.

По определению логарифма:

$3^{\frac{p}{q}} = 5$

Возведем обе части в степень $q$:

$(3^{\frac{p}{q}})^q = 5^q$

$3^p = 5^q$

Это равенство также неверно для любых натуральных $p$ и $q$. Левая часть $3^p$ делится нацело только на степени тройки, а правая часть $5^q$ — только на степени пятерки. Согласно основной теореме арифметики, такое равенство невозможно.

Противоречие доказывает, что предположение о рациональности числа $\log_3 5$ было ошибочным.

Ответ: $\log_3 5$