Страница 286, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Перечислите основные методы решения показательных уравнений.

Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная содержится в показателе степени. Существует несколько основных методов их решения.

1. Приведение к одному основанию
Этот метод является базовым и применяется, когда обе части уравнения можно представить в виде степеней с одинаковым основанием. Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
Пример: Решить уравнение $2^{x-1} = 8$.
Решение: Представим правую часть уравнения как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.
Получаем уравнение: $2^{x-1} = 2^3$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x - 1 = 3$
$x = 4$.
Ответ: $x = 4$.

2. Введение новой переменной (метод замены)
Данный метод используется, если уравнение можно свести к алгебраическому (чаще всего квадратному) относительно показательной функции $a^x$.
Пример: Решить уравнение $4^x - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$.
Решение: Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде: $(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$.
Введем новую переменную: пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $t^2 - 2t - 8 = 0$.
Находим корни по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной с корнем $t_1 = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

3. Вынесение общего множителя за скобки
Этот метод эффективен, когда в уравнении присутствуют члены с одинаковым основанием степени, но с разными показателями.
Пример: Решить уравнение $3^{x+1} + 3^{x-1} = 90$.
Решение: Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:
$3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^{-1} = 90$
$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x = 90$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 + \frac{1}{3}) = 90$
$3^x(\frac{9+1}{3}) = 90$
$3^x \cdot \frac{10}{3} = 90$.
Выразим $3^x$:
$3^x = 90 \cdot \frac{3}{10}$
$3^x = 9 \cdot 3$
$3^x = 27$
$3^x = 3^3$
$x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

4. Логарифмирование обеих частей уравнения
Метод применяется, когда основания степеней в левой и правой частях уравнения различны и их невозможно привести к одному основанию. Обе части уравнения (которые должны быть положительны) логарифмируют по любому удобному основанию (например, по основанию 10 или $e$).
Пример: Решить уравнение $3^x = 7^{x+2}$.
Решение: Так как обе части уравнения положительны, прологарифмируем их, например, по основанию 10:
$\lg(3^x) = \lg(7^{x+2})$.
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, вынесем показатели степеней за знак логарифма:
$x \cdot \lg(3) = (x+2) \cdot \lg(7)$
$x \cdot \lg(3) = x \cdot \lg(7) + 2 \cdot \lg(7)$.
Сгруппируем члены, содержащие $x$:
$x \cdot \lg(7) - x \cdot \lg(3) = -2 \cdot \lg(7)$
$x(\lg(7) - \lg(3)) = -2 \cdot \lg(7)$.
Выразим $x$:
$x = \frac{-2 \lg(7)}{\lg(7) - \lg(3)} = \frac{2 \lg(7)}{\lg(3) - \lg(7)}$.
Используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$, ответ можно записать как $x = \frac{2 \lg(7)}{\lg(3/7)}$.
Ответ: $x = \frac{2 \lg(7)}{\lg(3) - \lg(7)}$.

5. Функционально-графический метод
Этот метод основан на анализе свойств функций (монотонность, ограниченность и т.д.), стоящих в левой и правой частях уравнения. Если, например, одна функция $f(x)$ строго возрастает, а другая $g(x)$ строго убывает, то уравнение $f(x)=g(x)$ имеет не более одного корня. Этот корень часто можно найти подбором, а его единственность доказывается анализом функций.
Пример: Решить уравнение $5^x = 6 - x$.
Решение: Рассмотрим функции $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x$.
Функция $f(x) = 5^x$ (показательная с основанием $5>1$) является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $g(x) = 6 - x$ (линейная с отрицательным угловым коэффициентом $-1$) является строго убывающей на всей числовой прямой.
Следовательно, графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке, а значит, уравнение имеет не более одного решения.
Методом подбора находим, что при $x = 1$ левая часть равна $5^1=5$, а правая $6-1=5$.
Поскольку $5=5$, то $x=1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то других решений нет.
Ответ: $x = 1$.

6. Решение однородных показательных уравнений
Уравнения вида $A \cdot a^{2f(x)} + B \cdot (ab)^{f(x)} + C \cdot b^{2f(x)} = 0$ называются однородными. Для их решения обе части уравнения делят на $b^{2f(x)}$ (или $a^{2f(x)}$), что приводит к квадратному уравнению относительно $(\frac{a}{b})^{f(x)}$.
Пример: Решить уравнение $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 3 \cdot 9^x = 0$.
Решение: Перепишем уравнение, используя степени с простыми основаниями:
$2 \cdot (2^2)^x - 5 \cdot (2 \cdot 3)^x + 3 \cdot (3^2)^x = 0$
$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 3 \cdot (3^x)^2 = 0$.
Это однородное уравнение. Разделим обе части на $(3^x)^2$, которое не равно нулю:
$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} + 3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$
$2 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 3 = 0$.
Сделаем замену $t = (\frac{2}{3})^x$, $t>0$:
$2t^2 - 5t + 3 = 0$.
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1$
$t_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Оба корня положительны. Возвращаемся к замене:
1) $(\frac{2}{3})^x = 1 \implies (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^0 \implies x_1 = 0$.
2) $(\frac{2}{3})^x = \frac{3}{2} \implies (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^{-1} \implies x_2 = -1$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1$.

2. Верно ли, что уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x-2=x^2$?

Обоснуйте свой ответ.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Чтобы определить, являются ли данные уравнения равносильными, мы можем либо найти множества решений для каждого из них и сравнить их, либо преобразовать одно уравнение в другое с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим первое уравнение: $3^{2x-4} = 9^{x^2}$.

Это показательное уравнение. Для его решения необходимо привести обе части к одному основанию. Поскольку $9 = 3^2$, мы можем переписать правую часть уравнения следующим образом:
$3^{2x-4} = (3^2)^{x^2}$

Используя свойство степени «возведение степени в степень» ($(a^m)^n = a^{mn}$), мы получаем:
$3^{2x-4} = 3^{2x^2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели. Это преобразование является равносильным, так как показательная функция $y=a^t$ (при $a>0, a \ne 1$) является монотонной, и каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента.
$2x-4 = 2x^2$

Теперь разделим обе части полученного квадратного уравнения на 2. Это преобразование также является равносильным, так как мы делим на число, не равное нулю.
$x-2 = x^2$

В результате равносильных преобразований мы получили второе уравнение из условия задачи. Это доказывает, что исходные уравнения равносильны.

Для полной уверенности можно также найти множество решений для уравнения $x-2 = x^2$. Для этого приведем его к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - x + 2 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$). Поскольку уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x-2 = x^2$, оно также не имеет действительных корней.

Таким образом, множества решений обоих уравнений совпадают (оба являются пустыми множествами), что подтверждает их равносильность.

Ответ: Да, верно. Уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x-2 = x^2$, так как первое уравнение с помощью равносильных преобразований сводится ко второму. Множество решений для обоих уравнений является пустым.

3. Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$? уравнение $3^x = 4 - x$?

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$?

Для того чтобы определить количество корней уравнения $3^x = 5 - x$, рассмотрим две функции: $y_1 = 3^x$ и $y_2 = 5 - x$. Корни исходного уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков этих функций.

1. Функция $y_1 = 3^x$ — это показательная функция с основанием $3 > 1$, поэтому она является строго возрастающей на всей числовой оси.

2. Функция $y_2 = 5 - x$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, поэтому она является строго убывающей на всей числовой оси.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.

Чтобы доказать, что корень действительно существует, рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - (5 - x) = 3^x + x - 5$. Найдём значения этой функции в некоторых точках:

• При $x=1$: $f(1) = 3^1 + 1 - 5 = -1$.
• При $x=2$: $f(2) = 3^2 + 2 - 5 = 9 + 2 - 5 = 6$.

Функция $f(x)$ непрерывна. Поскольку на концах отрезка $[1, 2]$ она принимает значения разных знаков ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), по теореме о промежуточном значении на интервале $(1, 2)$ существует как минимум один корень. Так как мы ранее установили, что корень может быть только один, то уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: Уравнение $3^x = 5 - x$ имеет один корень.

Сколько корней имеет уравнение $3^x = 4 - x$?

Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ (строго возрастающая) и $y_2 = 4 - x$ (строго убывающая). Эти функции могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень методом подбора. Проверим небольшие целые значения $x$. При $x=1$: Левая часть: $3^1 = 3$. Правая часть: $4 - 1 = 3$. Так как $3=3$, то $x=1$ является корнем уравнения.

Поскольку корень существует и он может быть только один, мы нашли единственное решение уравнения.

Ответ: Уравнение $3^x = 4 - x$ имеет один корень.

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Устно можно решить уравнение $3^x = 4 - x$. Его корень $x=1$ является целым числом и легко находится подбором.

Уравнение $3^x = 5 - x$ имеет единственный корень, который, как мы показали, лежит в интервале $(1, 2)$. Он не является целым или рациональным числом, и для его нахождения требуются численные методы, поэтому решить его устно невозможно.

Ответ: Устно можно решить уравнение $3^x = 4 - x$.

4. Какое из двух утверждений верно, если $a > 1$:

а) неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

б) неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать свойства показательной функции $y = a^x$. Поведение этой функции зависит от значения ее основания $a$.

В условии задачи указано, что основание $a > 1$.

Когда основание показательной функции больше единицы ($a > 1$), функция является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение ее аргумента (показателя степени), и наоборот. При решении показательных неравенств с таким основанием знак неравенства сохраняется при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей.

Следовательно, для неравенства вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ при $a > 1$ равносильным будет неравенство $f(x) > g(x)$.

Теперь рассмотрим предложенные утверждения:

а) Утверждение, что неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$, является неверным. Такое преобразование (смена знака неравенства на противоположный) было бы верным для убывающей показательной функции, то есть при условии $0 < a < 1$.

б) Утверждение, что неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$, является верным. Это напрямую следует из свойства монотонного возрастания показательной функции с основанием $a > 1$.

Ответ: верно утверждение б).

5. Какое из двух утверждений верно, если $0 < a < 1$:

a) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$;

б) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$?

Для того чтобы определить, какое из двух утверждений является верным, необходимо рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$ при заданном условии на ее основание $a$.

В условии задачи указано, что основание $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Когда основание показательной функции находится в этом интервале, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ выполняется правило: если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. И наоборот, если $a^{x_1} < a^{x_2}$, то $x_1 > x_2$.

Таким образом, при решении показательных неравенств с основанием $a \in (0, 1)$ знак неравенства при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей меняется на противоположный.

Рассмотрим исходное неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$.

Исходя из свойства убывающей показательной функции, данное неравенство равносильно (эквивалентно) неравенству $f(x) \ge g(x)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений.

а) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$

Это утверждение неверно. Оно предполагает, что знак неравенства сохраняется, что было бы справедливо только для возрастающей функции, то есть при $a > 1$. Поскольку по условию $0 < a < 1$, функция является убывающей, и знак неравенства должен меняться на противоположный.
Ответ: утверждение неверно.

б) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$

Это утверждение верно. Оно в точности соответствует свойству монотонно убывающей показательной функции с основанием $0 < a < 1$. Как было показано выше, неравенство для степеней $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ эквивалентно неравенству для показателей $f(x) \ge g(x)$.
Ответ: утверждение верно.