Номер 1, страница 286, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §40 - номер 1, страница 286.

Условие.

1. Перечислите основные методы решения показательных уравнений.

Решение 6.

Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная содержится в показателе степени. Существует несколько основных методов их решения.

1. Приведение к одному основанию
Этот метод является базовым и применяется, когда обе части уравнения можно представить в виде степеней с одинаковым основанием. Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
Пример: Решить уравнение $2^{x-1} = 8$.
Решение: Представим правую часть уравнения как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.
Получаем уравнение: $2^{x-1} = 2^3$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x - 1 = 3$
$x = 4$.
Ответ: $x = 4$.

2. Введение новой переменной (метод замены)
Данный метод используется, если уравнение можно свести к алгебраическому (чаще всего квадратному) относительно показательной функции $a^x$.
Пример: Решить уравнение $4^x - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$.
Решение: Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде: $(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$.
Введем новую переменную: пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $t^2 - 2t - 8 = 0$.
Находим корни по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной с корнем $t_1 = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

3. Вынесение общего множителя за скобки
Этот метод эффективен, когда в уравнении присутствуют члены с одинаковым основанием степени, но с разными показателями.
Пример: Решить уравнение $3^{x+1} + 3^{x-1} = 90$.
Решение: Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:
$3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^{-1} = 90$
$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x = 90$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 + \frac{1}{3}) = 90$
$3^x(\frac{9+1}{3}) = 90$
$3^x \cdot \frac{10}{3} = 90$.
Выразим $3^x$:
$3^x = 90 \cdot \frac{3}{10}$
$3^x = 9 \cdot 3$
$3^x = 27$
$3^x = 3^3$
$x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

4. Логарифмирование обеих частей уравнения
Метод применяется, когда основания степеней в левой и правой частях уравнения различны и их невозможно привести к одному основанию. Обе части уравнения (которые должны быть положительны) логарифмируют по любому удобному основанию (например, по основанию 10 или $e$).
Пример: Решить уравнение $3^x = 7^{x+2}$.
Решение: Так как обе части уравнения положительны, прологарифмируем их, например, по основанию 10:
$\lg(3^x) = \lg(7^{x+2})$.
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, вынесем показатели степеней за знак логарифма:
$x \cdot \lg(3) = (x+2) \cdot \lg(7)$
$x \cdot \lg(3) = x \cdot \lg(7) + 2 \cdot \lg(7)$.
Сгруппируем члены, содержащие $x$:
$x \cdot \lg(7) - x \cdot \lg(3) = -2 \cdot \lg(7)$
$x(\lg(7) - \lg(3)) = -2 \cdot \lg(7)$.
Выразим $x$:
$x = \frac{-2 \lg(7)}{\lg(7) - \lg(3)} = \frac{2 \lg(7)}{\lg(3) - \lg(7)}$.
Используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$, ответ можно записать как $x = \frac{2 \lg(7)}{\lg(3/7)}$.
Ответ: $x = \frac{2 \lg(7)}{\lg(3) - \lg(7)}$.

5. Функционально-графический метод
Этот метод основан на анализе свойств функций (монотонность, ограниченность и т.д.), стоящих в левой и правой частях уравнения. Если, например, одна функция $f(x)$ строго возрастает, а другая $g(x)$ строго убывает, то уравнение $f(x)=g(x)$ имеет не более одного корня. Этот корень часто можно найти подбором, а его единственность доказывается анализом функций.
Пример: Решить уравнение $5^x = 6 - x$.
Решение: Рассмотрим функции $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x$.
Функция $f(x) = 5^x$ (показательная с основанием $5>1$) является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $g(x) = 6 - x$ (линейная с отрицательным угловым коэффициентом $-1$) является строго убывающей на всей числовой прямой.
Следовательно, графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке, а значит, уравнение имеет не более одного решения.
Методом подбора находим, что при $x = 1$ левая часть равна $5^1=5$, а правая $6-1=5$.
Поскольку $5=5$, то $x=1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то других решений нет.
Ответ: $x = 1$.

6. Решение однородных показательных уравнений
Уравнения вида $A \cdot a^{2f(x)} + B \cdot (ab)^{f(x)} + C \cdot b^{2f(x)} = 0$ называются однородными. Для их решения обе части уравнения делят на $b^{2f(x)}$ (или $a^{2f(x)}$), что приводит к квадратному уравнению относительно $(\frac{a}{b})^{f(x)}$.
Пример: Решить уравнение $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 3 \cdot 9^x = 0$.
Решение: Перепишем уравнение, используя степени с простыми основаниями:
$2 \cdot (2^2)^x - 5 \cdot (2 \cdot 3)^x + 3 \cdot (3^2)^x = 0$
$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 3 \cdot (3^x)^2 = 0$.
Это однородное уравнение. Разделим обе части на $(3^x)^2$, которое не равно нулю:
$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} + 3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$
$2 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 3 = 0$.
Сделаем замену $t = (\frac{2}{3})^x$, $t>0$:
$2t^2 - 5t + 3 = 0$.
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1$
$t_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Оба корня положительны. Возвращаемся к замене:
1) $(\frac{2}{3})^x = 1 \implies (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^0 \implies x_1 = 0$.
2) $(\frac{2}{3})^x = \frac{3}{2} \implies (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^{-1} \implies x_2 = -1$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1$.