Номер 5, страница 286, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §40. ч. 1 - номер 5, страница 286.
№5 (с. 286)
Условие. №5 (с. 286)
скриншот условия

5. Какое из двух утверждений верно, если $0 < a < 1$:
a) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$;
б) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$?
Решение 6. №5 (с. 286)
Для того чтобы определить, какое из двух утверждений является верным, необходимо рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$ при заданном условии на ее основание $a$.
В условии задачи указано, что основание $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Когда основание показательной функции находится в этом интервале, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ выполняется правило: если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. И наоборот, если $a^{x_1} < a^{x_2}$, то $x_1 > x_2$.
Таким образом, при решении показательных неравенств с основанием $a \in (0, 1)$ знак неравенства при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей меняется на противоположный.
Рассмотрим исходное неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$.
Исходя из свойства убывающей показательной функции, данное неравенство равносильно (эквивалентно) неравенству $f(x) \ge g(x)$.
Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений.
а) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$
Это утверждение неверно. Оно предполагает, что знак неравенства сохраняется, что было бы справедливо только для возрастающей функции, то есть при $a > 1$. Поскольку по условию $0 < a < 1$, функция является убывающей, и знак неравенства должен меняться на противоположный.
Ответ: утверждение неверно.
б) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$
Это утверждение верно. Оно в точности соответствует свойству монотонно убывающей показательной функции с основанием $0 < a < 1$. Как было показано выше, неравенство для степеней $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ эквивалентно неравенству для показателей $f(x) \ge g(x)$.
Ответ: утверждение верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 286 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 286), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.