Номер 5, страница 286, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §40 - номер 5, страница 286.

Условие.

5. Какое из двух утверждений верно, если $0 < a < 1$:

a) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$;

б) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$?

Решение 6.

Для того чтобы определить, какое из двух утверждений является верным, необходимо рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$ при заданном условии на ее основание $a$.

В условии задачи указано, что основание $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Когда основание показательной функции находится в этом интервале, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ выполняется правило: если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. И наоборот, если $a^{x_1} < a^{x_2}$, то $x_1 > x_2$.

Таким образом, при решении показательных неравенств с основанием $a \in (0, 1)$ знак неравенства при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей меняется на противоположный.

Рассмотрим исходное неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$.

Исходя из свойства убывающей показательной функции, данное неравенство равносильно (эквивалентно) неравенству $f(x) \ge g(x)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений.

а) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$

Это утверждение неверно. Оно предполагает, что знак неравенства сохраняется, что было бы справедливо только для возрастающей функции, то есть при $a > 1$. Поскольку по условию $0 < a < 1$, функция является убывающей, и знак неравенства должен меняться на противоположный.
Ответ: утверждение неверно.

б) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$

Это утверждение верно. Оно в точности соответствует свойству монотонно убывающей показательной функции с основанием $0 < a < 1$. Как было показано выше, неравенство для степеней $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ эквивалентно неравенству для показателей $f(x) \ge g(x)$.
Ответ: утверждение верно.