Номер 1, страница 294, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §42. ч. 1 - номер 1, страница 294.

1. Как связаны между собой графики функций:

а) $y = 2^x$ и $y = \log_2 x$;

б) $y = 10^x$ и $y = \lg x$;

в) $y = \log_3 x$ и $y = -\log_3 x$;

г) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3 x + 2$;

д) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3 (x - 2)$?

а) Функции $y = 2^x$ (показательная) и $y = \log_2 x$ (логарифмическая) являются взаимно обратными, поскольку основание степени и основание логарифма равны (в данном случае 2). Графики взаимно обратных функций всегда симметричны относительно прямой $y=x$. Чтобы получить график одной из них, нужно отразить график другой относительно этой прямой.
Ответ: График функции $y = \log_2 x$ симметричен графику функции $y = 2^x$ относительно прямой $y=x$.

б) Функция $y = \lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Таким образом, мы имеем пару функций: показательную $y = 10^x$ и логарифмическую $y = \log_{10} x$. Как и в предыдущем пункте, эти функции являются взаимно обратными, так как их основание одинаково и равно 10. Следовательно, их графики также симметричны относительно прямой $y=x$.
Ответ: График функции $y = \lg x$ симметричен графику функции $y = 10^x$ относительно прямой $y=x$.

в) Если рассмотреть график функции $y = f(x) = \log_3 x$, то график функции $y = -\log_3 x$ будет соответствовать графику $y = -f(x)$. Такое преобразование означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, на новом графике будет точка $(x_0, -y_0)$. Это соответствует симметричному отражению (зеркальному отображению) графика относительно оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: График функции $y = -\log_3 x$ получается из графика функции $y = \log_3 x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

г) Если рассмотреть график функции $y = f(x) = \log_3 x$, то график функции $y = \log_3 x + 2$ будет соответствовать графику $y = f(x) + 2$. Преобразование вида $y = f(x) + c$ представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Поскольку $c=2$ (положительное число), сдвиг происходит вверх на 2 единицы.
Ответ: График функции $y = \log_3 x + 2$ получается из графика функции $y = \log_3 x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

д) Если рассмотреть график функции $y = f(x) = \log_3 x$, то график функции $y = \log_3(x-2)$ будет соответствовать графику $y = f(x-2)$. Преобразование вида $y = f(x-c)$ представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Поскольку $c=2$ (положительное число), сдвиг происходит вправо на 2 единицы.
Ответ: График функции $y = \log_3(x-2)$ получается из графика функции $y = \log_3 x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.