Номер 4, страница 302, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §43 - номер 4, страница 302.

Условие.

4. Что называют характеристикой десятичного логарифма числа $b$?

Найдите характеристику числа:

a) $\lg 155$;

б) $\lg 2013$;

в) $\lg 0,02$.

Решение 6.

Характеристикой десятичного логарифма положительного числа $b$ называют целую часть этого логарифма. Любой десятичный логарифм можно представить в виде суммы целого числа (характеристики) и неотрицательной правильной дроби (мантиссы):

$\lg b = m + \alpha$, где $m \in \mathbb{Z}$ (целое число) — это характеристика, а $0 \le \alpha < 1$ — это мантисса.

Для нахождения характеристики удобно представить число $b$ в стандартном виде: $b = a \cdot 10^k$, где $1 \le a < 10$, а $k$ — целое число. Тогда показатель степени $k$ и будет являться характеристикой десятичного логарифма числа $b$.

а) lg 155
Представим число 155 в стандартном виде. Для этого нужно перенести запятую так, чтобы перед ней осталась одна значащая цифра (от 1 до 9).
$155 = 1.55 \cdot 100 = 1.55 \cdot 10^2$.
Здесь $a=1.55$ и $k=2$. Показатель степени $k$ равен 2, следовательно, характеристика десятичного логарифма числа 155 равна 2.
Проверка: $10^2 < 155 < 10^3$, значит $2 < \lg 155 < 3$. Целая часть равна 2.
Ответ: 2

б) lg 2013
Представим число 2013 в стандартном виде:
$2013 = 2.013 \cdot 1000 = 2.013 \cdot 10^3$.
Здесь $a=2.013$ и $k=3$. Показатель степени $k$ равен 3, что и является характеристикой логарифма.
Проверка: $10^3 < 2013 < 10^4$, значит $3 < \lg 2013 < 4$. Целая часть равна 3.
Ответ: 3

в) lg 0,02
Представим число 0,02 в стандартном виде.
$0.02 = 2 \cdot 0.01 = 2 \cdot 10^{-2}$.
Здесь $a=2$ и $k=-2$. Показатель степени $k$ равен -2, следовательно, характеристика логарифма равна -2.
Проверка: $10^{-2} < 0.02 < 10^{-1}$, значит $-2 < \lg 0.02 < -1$. Целая часть $\lg 0.02$ равна -2 (например, $\lg 0.02 \approx -1.699$, целая часть этого числа равна -2).
Ответ: -2