Номер 2, страница 306, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §44. ч. 1 - номер 2, страница 306.
№2 (с. 306)
Условие. №2 (с. 306)
скриншот условия

2. Можно ли утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \ne 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?
Решение 6. №2 (с. 306)
Нет, утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, в общем случае нельзя.
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные уравнения, необходимо сравнить их множества решений.
1. Анализ уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$
Это логарифмическое уравнение. По определению логарифма, его аргумент должен быть строго больше нуля. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется системой неравенств:
$$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$
Поскольку логарифмическая функция $y = \log_a t$ является монотонной, из равенства значений функции следует равенство ее аргументов. Таким образом, из уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ следует, что $f(x) = g(x)$.
Следовательно, чтобы найти решение исходного логарифмического уравнения, нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют системе:
$$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$
Так как $f(x) = g(x)$, одно из неравенств ($f(x) > 0$ или $g(x) > 0$) можно опустить, так как оно будет выполняться автоматически, если выполняется другое. То есть, уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе:
$$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} \quad \text{или, что то же самое,} \quad \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $$
2. Анализ уравнения $f(x) = g(x)$
Это уравнение, в общем случае, не имеет ограничений на знак функций $f(x)$ и $g(x)$. Его решениями являются все значения $x$, при которых значения функций равны, независимо от того, положительны они, отрицательны или равны нулю.
Сравнение и вывод
Из анализа видно, что любое решение уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ также является решением уравнения $f(x) = g(x)$. Однако обратное не всегда верно. Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь корни, при которых $f(x) = g(x) \le 0$. Такие корни не входят в ОДЗ логарифмического уравнения, а значит, не являются его решениями. Такие корни называют посторонними.
Поскольку множество решений уравнения $f(x) = g(x)$ может быть шире, чем множество решений уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, эти уравнения не являются равносильными.
Пример, иллюстрирующий неравносильность:
Рассмотрим два уравнения:
1) $\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(3x - 8)$
2) $x^2 - 3x = 3x - 8$
Решим второе уравнение, которое является следствием первого:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Множество решений второго уравнения: $\{2, 4\}$.
Теперь проверим эти корни для первого, логарифмического, уравнения. Его ОДЗ определяется системой:
$$ \begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ x > 8/3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty) \\ x > 8/3 \end{cases} $$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (3, \infty)$.
- Проверяем корень $x_1 = 2$. Он не принадлежит ОДЗ, так как $2 \ngtr 3$. При подстановке в аргументы логарифмов получаем: $f(2) = 2^2 - 3(2) = -2$, $g(2) = 3(2) - 8 = -2$. Логарифм от отрицательного числа не определен. Значит, $x=2$ — посторонний корень.
- Проверяем корень $x_2 = 4$. Он принадлежит ОДЗ, так как $4 > 3$. При подстановке: $f(4) = 4^2 - 3(4) = 4 > 0$, $g(4) = 3(4) - 8 = 4 > 0$. Этот корень является решением логарифмического уравнения.
Таким образом, множество решений первого уравнения равно $\{4\}$, а второго — $\{2, 4\}$. Так как множества решений не совпадают, уравнения не являются равносильными.
Ответ: Нет, утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, нельзя. Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием логарифмического уравнения, но может иметь посторонние корни, которые не удовлетворяют области допустимых значений (ОДЗ) исходного логарифмического уравнения, а именно условиям $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 306 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 306), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.