Номер 2, страница 306, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §44 - номер 2, страница 306.

Условие.

2. Можно ли утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \ne 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

Решение 6.

Нет, утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, в общем случае нельзя.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные уравнения, необходимо сравнить их множества решений.

1. Анализ уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$

Это логарифмическое уравнение. По определению логарифма, его аргумент должен быть строго больше нуля. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется системой неравенств:

$$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

Поскольку логарифмическая функция $y = \log_a t$ является монотонной, из равенства значений функции следует равенство ее аргументов. Таким образом, из уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ следует, что $f(x) = g(x)$.

Следовательно, чтобы найти решение исходного логарифмического уравнения, нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют системе:

$$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

Так как $f(x) = g(x)$, одно из неравенств ($f(x) > 0$ или $g(x) > 0$) можно опустить, так как оно будет выполняться автоматически, если выполняется другое. То есть, уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} \quad \text{или, что то же самое,} \quad \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

2. Анализ уравнения $f(x) = g(x)$

Это уравнение, в общем случае, не имеет ограничений на знак функций $f(x)$ и $g(x)$. Его решениями являются все значения $x$, при которых значения функций равны, независимо от того, положительны они, отрицательны или равны нулю.

Сравнение и вывод

Из анализа видно, что любое решение уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ также является решением уравнения $f(x) = g(x)$. Однако обратное не всегда верно. Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь корни, при которых $f(x) = g(x) \le 0$. Такие корни не входят в ОДЗ логарифмического уравнения, а значит, не являются его решениями. Такие корни называют посторонними.

Поскольку множество решений уравнения $f(x) = g(x)$ может быть шире, чем множество решений уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, эти уравнения не являются равносильными.

Пример, иллюстрирующий неравносильность:

Рассмотрим два уравнения:

1) $\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(3x - 8)$

2) $x^2 - 3x = 3x - 8$

Решим второе уравнение, которое является следствием первого:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Множество решений второго уравнения: $\{2, 4\}$.

Теперь проверим эти корни для первого, логарифмического, уравнения. Его ОДЗ определяется системой:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ x > 8/3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty) \\ x > 8/3 \end{cases} $$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (3, \infty)$.

• Проверяем корень $x_1 = 2$. Он не принадлежит ОДЗ, так как $2 \ngtr 3$. При подстановке в аргументы логарифмов получаем: $f(2) = 2^2 - 3(2) = -2$, $g(2) = 3(2) - 8 = -2$. Логарифм от отрицательного числа не определен. Значит, $x=2$ — посторонний корень.
• Проверяем корень $x_2 = 4$. Он принадлежит ОДЗ, так как $4 > 3$. При подстановке: $f(4) = 4^2 - 3(4) = 4 > 0$, $g(4) = 3(4) - 8 = 4 > 0$. Этот корень является решением логарифмического уравнения.

Таким образом, множество решений первого уравнения равно $\{4\}$, а второго — $\{2, 4\}$. Так как множества решений не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Ответ: Нет, утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, нельзя. Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием логарифмического уравнения, но может иметь посторонние корни, которые не удовлетворяют области допустимых значений (ОДЗ) исходного логарифмического уравнения, а именно условиям $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.