Номер 5, страница 302, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §43. ч. 1 - номер 5, страница 302.

5. Что называют мантиссой десятичного логарифма числа $b$? Приведите пример трёх чисел (отличный от примера на с. 300–301) с одинаковой мантиссой их десятичного логарифма.

Что называют мантиссой десятичного логарифма числа b?

Десятичный логарифм (обозначается $\lg b$) любого положительного числа $b$ можно единственным образом представить в виде суммы целого числа $p$ и неотрицательной правильной дроби $m$:
$\lg b = p + m$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $0 \le m < 1$.
Целое число $p$ называют характеристикой десятичного логарифма числа $b$.
Неотрицательную дробную часть $m$ называют мантиссой десятичного логарифма числа $b$.
Например, если $\lg b = 5.81$, то его характеристика $p=5$, а мантисса $m=0.81$. Если $\lg b = -3.19$, то его можно представить как $-4 + 0.81$, тогда характеристика $p=-4$, а мантисса $m=0.81$.

Приведите пример трёх чисел (отличный от примера на с. 300—301) с одинаковой мантиссой их десятичного логарифма.

Числа, которые отличаются друг от друга только положением десятичной запятой (то есть отличаются в $10^k$ раз, где $k$ — целое число), имеют одинаковую мантиссу их десятичного логарифма. Это следует из свойства логарифма: $\lg(b \cdot 10^k) = \lg b + \lg 10^k = \lg b + k$. Прибавление целого числа $k$ к логарифму изменяет его характеристику, но оставляет мантиссу без изменений.

Рассмотрим в качестве примера числа 7.5, 750 и 0.075.
1. Для числа 7.5: $\lg 7.5 \approx 0.8751$. Характеристика $p=0$, мантисса $m \approx 0.8751$.
2. Для числа 750: $\lg 750 = \lg(7.5 \cdot 10^2) = \lg 7.5 + \lg 10^2 = \lg 7.5 + 2 \approx 0.8751 + 2 = 2.8751$. Характеристика $p=2$, мантисса $m \approx 0.8751$.
3. Для числа 0.075: $\lg 0.075 = \lg(7.5 \cdot 10^{-2}) = \lg 7.5 + \lg 10^{-2} = \lg 7.5 - 2 \approx 0.8751 - 2 = -1.1249$. Представив это число в виде суммы целой и неотрицательной дробной части, получим: $-1.1249 = -2 + 0.8751$. Характеристика $p=-2$, мантисса $m \approx 0.8751$.
Таким образом, у чисел 7.5, 750 и 0.075 мантиссы их десятичных логарифмов одинаковы.

Ответ: Мантиссой десятичного логарифма числа $b$ называют его неотрицательную дробную часть $m$, получаемую при представлении логарифма в виде $\lg b = p + m$, где $p$ — целое число (характеристика), а $0 \le m < 1$. Пример трёх чисел с одинаковой мантиссой: 7.5, 750, 0.075.