Номер 1, страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §43 - номер 1, страница 301.

Условие.

1. Пусть $a, b, c$ — положительные числа, причём $a \ne 1$. Какие из следующих соотношений являются верными, а какие — нет:

а) $\log_a b + \log_a c = \log_a (b+c)$;

б) $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$;

в) $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$;

г) $\log_a b - \log_a c = \log_a (b-c)$;

д) $\log_a bc = \log_a b \cdot \log_a c$;

е) $\log_a \frac{b}{c} = \frac{\log_a b}{\log_a c}$;

ж) $\log_a b^3 = 3 \log_a b$;

з) $\log_a b^3 = (\log_a b)^3$;

и) $-2 \log_a b = \log_a b^{-2}$;

к) $-2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2}$?

Решение 6.

а) Соотношение $\log_a b + \log_a c = \log_a(b+c)$ является неверным.Это одна из распространенных ошибок. Согласно основному свойству логарифмов, сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов, то есть $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.Для проверки можно подставить конкретные значения. Например, пусть $a=2, b=2, c=4$.Левая часть: $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$.Правая часть: $\log_2(2+4) = \log_2 6$.Так как $3 \neq \log_2 6$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

б) Соотношение $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ является верным.Это фундаментальное свойство логарифмов, известное как «логарифм произведения». Оно утверждает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов по тому же основанию.
Ответ: верно.

в) Соотношение $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ является верным.Это еще одно фундаментальное свойство логарифмов, известное как «логарифм частного». Оно утверждает, что логарифм частного двух положительных чисел равен разности их логарифмов по тому же основанию.
Ответ: верно.

г) Соотношение $\log_a b - \log_a c = \log_a(b-c)$ является неверным.Как и в пункте (а), это распространенная ошибка. Правильная формула — это формула логарифма частного, приведенная в пункте (в).Приведем контрпример. Пусть $a=2, b=8, c=4$.Левая часть: $\log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1$.Правая часть: $\log_2(8-4) = \log_2 4 = 2$.Так как $1 \neq 2$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

д) Соотношение $\log_a bc = \log_a b \cdot \log_a c$ является неверным.Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а не их произведению. Правильное соотношение: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$.Приведем контрпример. Пусть $a=2, b=2, c=4$.Левая часть: $\log_2(2 \cdot 4) = \log_2 8 = 3$.Правая часть: $\log_2 2 \cdot \log_2 4 = 1 \cdot 2 = 2$.Так как $3 \neq 2$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

е) Соотношение $\log_a \frac{b}{c} = \frac{\log_a b}{\log_a c}$ является неверным.Логарифм частного равен разности логарифмов. Выражение в правой части относится к формуле перехода к новому основанию: $\log_c b = \frac{\log_a b}{\log_a c}$.Приведем контрпример. Пусть $a=2, b=8, c=2$.Левая часть: $\log_2 \frac{8}{2} = \log_2 4 = 2$.Правая часть: $\frac{\log_2 8}{\log_2 2} = \frac{3}{1} = 3$.Так как $2 \neq 3$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

ж) Соотношение $\log_a b^3 = 3 \log_a b$ является верным.Это свойство называется «вынесение показателя степени за знак логарифма» или «логарифм степени». В общем виде оно записывается как $\log_a(b^p) = p \log_a b$. В данном случае $p=3$.
Ответ: верно.

з) Соотношение $\log_a b^3 = (\log_a b)^3$ является неверным.Здесь путают логарифм степени с возведением логарифма в степень.Приведем контрпример. Пусть $a=2, b=2$.Левая часть: $\log_2(2^3) = \log_2 8 = 3$.Правая часть: $(\log_2 2)^3 = 1^3 = 1$.Так как $3 \neq 1$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

и) Соотношение $-2 \log_a b = \log_a b^{-2}$ является верным.Это прямое применение свойства логарифма степени $\log_a(b^p) = p \log_a b$, где показатель степени $p=-2$.
Ответ: верно.

к) Соотношение $-2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2}$ является верным.Это соотношение является следствием предыдущего. Используя свойство логарифма степени, мы имеем $-2 \log_a b = \log_a(b^{-2})$. По определению степени с отрицательным показателем, $b^{-2} = \frac{1}{b^2}$. Подставив это в равенство, получаем $-2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2}$.
Ответ: верно.