Страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Пусть $a, b, c$ — положительные числа, причём $a \ne 1$. Какие из следующих соотношений являются верными, а какие — нет:

а) $\log_a b + \log_a c = \log_a (b+c)$;

б) $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$;

в) $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$;

г) $\log_a b - \log_a c = \log_a (b-c)$;

д) $\log_a bc = \log_a b \cdot \log_a c$;

е) $\log_a \frac{b}{c} = \frac{\log_a b}{\log_a c}$;

ж) $\log_a b^3 = 3 \log_a b$;

з) $\log_a b^3 = (\log_a b)^3$;

и) $-2 \log_a b = \log_a b^{-2}$;

к) $-2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2}$?

а) Соотношение $\log_a b + \log_a c = \log_a(b+c)$ является неверным.Это одна из распространенных ошибок. Согласно основному свойству логарифмов, сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов, то есть $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.Для проверки можно подставить конкретные значения. Например, пусть $a=2, b=2, c=4$.Левая часть: $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$.Правая часть: $\log_2(2+4) = \log_2 6$.Так как $3 \neq \log_2 6$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

б) Соотношение $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ является верным.Это фундаментальное свойство логарифмов, известное как «логарифм произведения». Оно утверждает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов по тому же основанию.
Ответ: верно.

в) Соотношение $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ является верным.Это еще одно фундаментальное свойство логарифмов, известное как «логарифм частного». Оно утверждает, что логарифм частного двух положительных чисел равен разности их логарифмов по тому же основанию.
Ответ: верно.

г) Соотношение $\log_a b - \log_a c = \log_a(b-c)$ является неверным.Как и в пункте (а), это распространенная ошибка. Правильная формула — это формула логарифма частного, приведенная в пункте (в).Приведем контрпример. Пусть $a=2, b=8, c=4$.Левая часть: $\log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1$.Правая часть: $\log_2(8-4) = \log_2 4 = 2$.Так как $1 \neq 2$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

д) Соотношение $\log_a bc = \log_a b \cdot \log_a c$ является неверным.Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а не их произведению. Правильное соотношение: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$.Приведем контрпример. Пусть $a=2, b=2, c=4$.Левая часть: $\log_2(2 \cdot 4) = \log_2 8 = 3$.Правая часть: $\log_2 2 \cdot \log_2 4 = 1 \cdot 2 = 2$.Так как $3 \neq 2$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

е) Соотношение $\log_a \frac{b}{c} = \frac{\log_a b}{\log_a c}$ является неверным.Логарифм частного равен разности логарифмов. Выражение в правой части относится к формуле перехода к новому основанию: $\log_c b = \frac{\log_a b}{\log_a c}$.Приведем контрпример. Пусть $a=2, b=8, c=2$.Левая часть: $\log_2 \frac{8}{2} = \log_2 4 = 2$.Правая часть: $\frac{\log_2 8}{\log_2 2} = \frac{3}{1} = 3$.Так как $2 \neq 3$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

ж) Соотношение $\log_a b^3 = 3 \log_a b$ является верным.Это свойство называется «вынесение показателя степени за знак логарифма» или «логарифм степени». В общем виде оно записывается как $\log_a(b^p) = p \log_a b$. В данном случае $p=3$.
Ответ: верно.

з) Соотношение $\log_a b^3 = (\log_a b)^3$ является неверным.Здесь путают логарифм степени с возведением логарифма в степень.Приведем контрпример. Пусть $a=2, b=2$.Левая часть: $\log_2(2^3) = \log_2 8 = 3$.Правая часть: $(\log_2 2)^3 = 1^3 = 1$.Так как $3 \neq 1$, равенство не выполняется.
Ответ: неверно.

и) Соотношение $-2 \log_a b = \log_a b^{-2}$ является верным.Это прямое применение свойства логарифма степени $\log_a(b^p) = p \log_a b$, где показатель степени $p=-2$.
Ответ: верно.

к) Соотношение $-2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2}$ является верным.Это соотношение является следствием предыдущего. Используя свойство логарифма степени, мы имеем $-2 \log_a b = \log_a(b^{-2})$. По определению степени с отрицательным показателем, $b^{-2} = \frac{1}{b^2}$. Подставив это в равенство, получаем $-2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2}$.
Ответ: верно.

2. При каких значениях $x$ верно равенство:

а) $\log_3 x^2 = 2 \log_3 x;$

б) $\log_3 x^2 = -2 \log_3 x;$

в) $\log_3 x^2 = 2 \log_3 |x|?$

а) Рассмотрим равенство $log_3 x^2 = 2 log_3 x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
1. Для левой части равенства, $log_3 x^2$, необходимо, чтобы $x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
2. Для правой части равенства, $2 log_3 x$, необходимо, чтобы $x > 0$.
Общая ОДЗ является пересечением этих двух условий: ($x \neq 0$) и ($x > 0$), что дает нам $x > 0$.
Теперь, когда мы определили, что $x$ должен быть положительным, мы можем использовать свойство логарифма $log_a b^p = p log_a b$ (которое справедливо для $b > 0$).
Применяя это свойство к левой части, получаем:
$log_3 x^2 = 2 log_3 x$.
Таким образом, исходное равенство превращается в тождество:
$2 log_3 x = 2 log_3 x$.
Это тождество верно для всех значений $x$ из области допустимых значений.
Следовательно, равенство верно для всех $x > 0$.
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) Рассмотрим равенство $log_3 x^2 = -2 log_3 x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого равенства такая же, как и в пункте а): $x > 0$. Это следует из одновременного выполнения условий $x^2 > 0$ и $x > 0$.
На этой области ($x > 0$) мы можем преобразовать левую часть $log_3 x^2$ в $2 log_3 x$.
Подставим это в исходное равенство:
$2 log_3 x = -2 log_3 x$.
Перенесем все члены в левую сторону:
$2 log_3 x + 2 log_3 x = 0$.
$4 log_3 x = 0$.
Разделим обе части на 4:
$log_3 x = 0$.
По определению логарифма, если $log_a b = c$, то $a^c = b$. Применяя это, получаем:
$x = 3^0$.
$x = 1$.
Полученное значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), следовательно, является единственным решением.
Ответ: $x = 1$.

в) Рассмотрим равенство $log_3 x^2 = 2 log_3 |x|$.
Определим ОДЗ для этого равенства.
1. Для левой части, $log_3 x^2$, аргумент $x^2$ должен быть больше нуля: $x^2 > 0$, что означает $x \ne 0$.
2. Для правой части, $2 log_3 |x|$, аргумент $|x|$ должен быть больше нуля: $|x| > 0$, что также означает $x \ne 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $x \ne 0$.
Теперь воспользуемся основным свойством логарифма для четной степени: $log_a (b^p) = p \cdot log_a |b|$, где $p$ — четное число. В нашем случае $p=2$.
Применяя это свойство к левой части, мы видим, что $log_3 x^2$ тождественно равно $2 log_3 |x|$ для всех $x \neq 0$.
Таким образом, данное равенство является тождеством, верным для всех значений $x$, при которых обе его части определены.
Как мы установили, обе части определены при $x \ne 0$.
Следовательно, равенство верно для всех $x \ne 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

3. Приведите пример конкретных значений $b$ и $c$, когда равенство $lg bc = lg b + lg c$ является верным, и пример, когда это равенство не является верным.

Данное равенство $lg(bc) = lg(b) + lg(c)$ является одним из основных свойств логарифмов, известным как "логарифм произведения". Однако, для его корректного применения необходимо учитывать область определения логарифмической функции.

Область определения десятичного логарифма ($lg$) требует, чтобы его аргумент был строго положительным. Проанализируем области определения для обеих частей равенства:

• Для левой части $lg(bc)$, выражение имеет смысл, когда $bc > 0$. Это выполняется в двух случаях: либо $b > 0$ и $c > 0$, либо $b < 0$ и $c < 0$.
• Для правой части $lg(b) + lg(c)$, выражение имеет смысл, когда оба слагаемых определены, то есть $b > 0$ и $c > 0$ одновременно.

Таким образом, равенство будет верным только в том случае, когда $b$ и $c$ положительны. Если же $b$ и $c$ оба отрицательны, левая часть будет определена, а правая — нет, и равенство не будет выполняться.

Для того чтобы равенство было верным, необходимо выбрать положительные значения для $b$ и $c$.

Пусть $b = 100$ и $c = 1000$. Подставим эти значения в обе части равенства.

Левая часть: $lg(bc) = lg(100 \cdot 1000) = lg(100000) = lg(10^5) = 5$.

Правая часть: $lg(b) + lg(c) = lg(100) + lg(1000) = lg(10^2) + lg(10^3) = 2 + 3 = 5$.

Так как $5 = 5$, равенство является верным.

Ответ: $b = 100$, $c = 1000$.

Чтобы равенство не было верным, можно выбрать такие значения $b$ и $c$, при которых левая часть имеет смысл, а правая — нет. Это произойдет, если $b$ и $c$ будут оба отрицательными.

Пусть $b = -2$ и $c = -50$.

Подставим эти значения в левую часть равенства:

$lg(bc) = lg((-2) \cdot (-50)) = lg(100) = 2$.

Левая часть определена и равна 2.

Теперь рассмотрим правую часть:

$lg(b) + lg(c) = lg(-2) + lg(-50)$.

Выражения $lg(-2)$ и $lg(-50)$ не определены в области действительных чисел, так как аргумент логарифма не может быть отрицательным. Следовательно, вся правая часть равенства не определена. Поскольку левая часть определена, а правая — нет, равенство не является верным.

Ответ: $b = -2$, $c = -50$.