Страница 302, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4. Что называют характеристикой десятичного логарифма числа $b$?

Найдите характеристику числа:

a) $\lg 155$;

б) $\lg 2013$;

в) $\lg 0,02$.

Характеристикой десятичного логарифма положительного числа $b$ называют целую часть этого логарифма. Любой десятичный логарифм можно представить в виде суммы целого числа (характеристики) и неотрицательной правильной дроби (мантиссы):

$\lg b = m + \alpha$, где $m \in \mathbb{Z}$ (целое число) — это характеристика, а $0 \le \alpha < 1$ — это мантисса.

Для нахождения характеристики удобно представить число $b$ в стандартном виде: $b = a \cdot 10^k$, где $1 \le a < 10$, а $k$ — целое число. Тогда показатель степени $k$ и будет являться характеристикой десятичного логарифма числа $b$.

а) lg 155
Представим число 155 в стандартном виде. Для этого нужно перенести запятую так, чтобы перед ней осталась одна значащая цифра (от 1 до 9).
$155 = 1.55 \cdot 100 = 1.55 \cdot 10^2$.
Здесь $a=1.55$ и $k=2$. Показатель степени $k$ равен 2, следовательно, характеристика десятичного логарифма числа 155 равна 2.
Проверка: $10^2 < 155 < 10^3$, значит $2 < \lg 155 < 3$. Целая часть равна 2.
Ответ: 2

б) lg 2013
Представим число 2013 в стандартном виде:
$2013 = 2.013 \cdot 1000 = 2.013 \cdot 10^3$.
Здесь $a=2.013$ и $k=3$. Показатель степени $k$ равен 3, что и является характеристикой логарифма.
Проверка: $10^3 < 2013 < 10^4$, значит $3 < \lg 2013 < 4$. Целая часть равна 3.
Ответ: 3

в) lg 0,02
Представим число 0,02 в стандартном виде.
$0.02 = 2 \cdot 0.01 = 2 \cdot 10^{-2}$.
Здесь $a=2$ и $k=-2$. Показатель степени $k$ равен -2, следовательно, характеристика логарифма равна -2.
Проверка: $10^{-2} < 0.02 < 10^{-1}$, значит $-2 < \lg 0.02 < -1$. Целая часть $\lg 0.02$ равна -2 (например, $\lg 0.02 \approx -1.699$, целая часть этого числа равна -2).
Ответ: -2

5. Что называют мантиссой десятичного логарифма числа $b$? Приведите пример трёх чисел (отличный от примера на с. 300–301) с одинаковой мантиссой их десятичного логарифма.

Что называют мантиссой десятичного логарифма числа b?

Десятичный логарифм (обозначается $\lg b$) любого положительного числа $b$ можно единственным образом представить в виде суммы целого числа $p$ и неотрицательной правильной дроби $m$:
$\lg b = p + m$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $0 \le m < 1$.
Целое число $p$ называют характеристикой десятичного логарифма числа $b$.
Неотрицательную дробную часть $m$ называют мантиссой десятичного логарифма числа $b$.
Например, если $\lg b = 5.81$, то его характеристика $p=5$, а мантисса $m=0.81$. Если $\lg b = -3.19$, то его можно представить как $-4 + 0.81$, тогда характеристика $p=-4$, а мантисса $m=0.81$.

Приведите пример трёх чисел (отличный от примера на с. 300—301) с одинаковой мантиссой их десятичного логарифма.

Числа, которые отличаются друг от друга только положением десятичной запятой (то есть отличаются в $10^k$ раз, где $k$ — целое число), имеют одинаковую мантиссу их десятичного логарифма. Это следует из свойства логарифма: $\lg(b \cdot 10^k) = \lg b + \lg 10^k = \lg b + k$. Прибавление целого числа $k$ к логарифму изменяет его характеристику, но оставляет мантиссу без изменений.

Рассмотрим в качестве примера числа 7.5, 750 и 0.075.
1. Для числа 7.5: $\lg 7.5 \approx 0.8751$. Характеристика $p=0$, мантисса $m \approx 0.8751$.
2. Для числа 750: $\lg 750 = \lg(7.5 \cdot 10^2) = \lg 7.5 + \lg 10^2 = \lg 7.5 + 2 \approx 0.8751 + 2 = 2.8751$. Характеристика $p=2$, мантисса $m \approx 0.8751$.
3. Для числа 0.075: $\lg 0.075 = \lg(7.5 \cdot 10^{-2}) = \lg 7.5 + \lg 10^{-2} = \lg 7.5 - 2 \approx 0.8751 - 2 = -1.1249$. Представив это число в виде суммы целой и неотрицательной дробной части, получим: $-1.1249 = -2 + 0.8751$. Характеристика $p=-2$, мантисса $m \approx 0.8751$.
Таким образом, у чисел 7.5, 750 и 0.075 мантиссы их десятичных логарифмов одинаковы.

Ответ: Мантиссой десятичного логарифма числа $b$ называют его неотрицательную дробную часть $m$, получаемую при представлении логарифма в виде $\lg b = p + m$, где $p$ — целое число (характеристика), а $0 \le m < 1$. Пример трёх чисел с одинаковой мантиссой: 7.5, 750, 0.075.