Номер 3, страница 294, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §42. ч. 1 - номер 3, страница 294.

3. Напишите уравнение асимптоты для графика функции:

a) $y = \lg x$;

б) $y = \log_2 (x - 1)$;

в) $y = \log_{0.5} (x + 4)$;

г) $y = \log_2 x - 3$.

Общий принцип нахождения вертикальных асимптот для логарифмических функций вида $y = \log_a(f(x))$ заключается в определении границы области определения. Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля: $f(x) > 0$. Вертикальная асимптота — это прямая, к которой график функции стремится, но никогда не пересекает. Для логарифмических функций это происходит там, где аргумент логарифма стремится к нулю. Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты находится из уравнения $f(x) = 0$.

а) Дана функция $y = \lg x$.

Это десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Аргументом логарифма является $x$. Область определения функции задается неравенством $x > 0$. Вертикальная асимптота находится на границе этой области. Приравниваем аргумент к нулю, чтобы найти уравнение асимптоты: $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

б) Дана функция $y = \log_2 (x - 1)$.

Аргументом логарифма является выражение $(x - 1)$. Область определения функции находится из условия $x - 1 > 0$, что равносильно $x > 1$. Вертикальная асимптота соответствует границе области определения. Приравниваем аргумент к нулю: $x - 1 = 0$. Отсюда получаем уравнение вертикальной асимптоты.

Ответ: $x = 1$.

в) Дана функция $y = \log_{0,5} (x + 4)$.

Аргументом логарифма является выражение $(x + 4)$. Область определения функции находится из условия $x + 4 > 0$, что равносильно $x > -4$. Вертикальная асимптота находится на границе этой области. Приравниваем аргумент к нулю: $x + 4 = 0$. Отсюда получаем уравнение вертикальной асимптоты.

Ответ: $x = -4$.

г) Дана функция $y = \log_2 x - 3$.

Эта функция получена из функции $y = \log_2 x$ сдвигом графика на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Такой сдвиг не влияет на положение вертикальной асимптоты. Аргументом логарифма является $x$. Область определения задается условием $x > 0$. Вертикальная асимптота соответствует границе области определения, то есть уравнению $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.