Номер 5, страница 306, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §44 - номер 5, страница 306.

Условие.

5. Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$? уравнение $\log_2 x = 3 - x$? Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Решение 6.

Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$?

Для определения количества корней уравнения рассмотрим две функции: $y = \log_2 x$ и $y = \frac{1}{x}$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

Область определения для обеих частей уравнения — это $x > 0$.

Проанализируем поведение функций на интервале $(0, \infty)$:
- Функция $y = \log_2 x$ является логарифмической с основанием $2 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения.
- Функция $y = \frac{1}{x}$ (гипербола) на интервале $(0, \infty)$ является строго убывающей.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза.

Чтобы доказать, что пересечение существует, проверим значения функций в двух точках:
- При $x = 1$: $\log_2 1 = 0$, а $\frac{1}{1} = 1$. Видим, что $\log_2 x < \frac{1}{x}$.
- При $x = 2$: $\log_2 2 = 1$, а $\frac{1}{2} = 0.5$. Видим, что $\log_2 x > \frac{1}{x}$.

Так как на отрезке $[1, 2]$ непрерывная функция $f(x) = \log_2 x - \frac{1}{x}$ меняет свой знак ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), то по теореме о промежуточном значении на интервале $(1, 2)$ существует как минимум один корень.

Учитывая, что корень может быть только один, делаем вывод, что уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: уравнение имеет один корень.

Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = 3 - x$?

Аналогично предыдущему случаю, рассмотрим функции $y = \log_2 x$ и $y = 3 - x$.

Область определения: $x > 0$.

Анализ функций:
- Функция $y = \log_2 x$ — строго возрастающая.
- Функция $y = 3 - x$ (линейная) — строго убывающая.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, у них может быть не более одной точки пересечения, то есть у уравнения не более одного корня.

Попробуем найти корень методом подбора. Проверим значение $x = 2$:
- Левая часть: $\log_2 2 = 1$.
- Правая часть: $3 - 2 = 1$.

Поскольку $1 = 1$, то $x = 2$ является корнем уравнения. Так как мы установили, что корень может быть только один, это и есть единственное решение.

Ответ: уравнение имеет один корень.

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Устно можно решить второе уравнение: $\log_2 x = 3 - x$.

Корень первого уравнения $\log_2 x = \frac{1}{x}$ является иррациональным числом, которое невозможно найти простым подбором. Для его нахождения требуются численные методы.

Корень второго уравнения, $x = 2$, легко находится подбором целого числа, что можно сделать в уме. Убедившись, что левая часть ($\log_2 x$) возрастает, а правая ($3-x$) убывает, мы понимаем, что других корней нет, поэтому найденный корень является единственным.

Ответ: устно можно решить уравнение $\log_2 x = 3 - x$, его корень $x=2$.