Номер 4, страница 306, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §44. ч. 1 - номер 4, страница 306.

4. Перечислите основные методы решения логарифмических уравнений.

Существует несколько основных методов решения логарифмических уравнений. Выбор метода зависит от вида уравнения. Важнейшим этапом решения является проверка найденных корней на соответствие области допустимых значений (ОДЗ), так как подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным, а основание логарифма — положительным и не равным единице.

1. Метод, основанный на определении логарифма

Этот метод применяется для решения простейших логарифмических уравнений вида $\log_a f(x) = b$. По определению логарифма, такое уравнение равносильно уравнению $f(x) = a^b$. При этом необходимо учитывать ОДЗ: $f(x) > 0$ и $a > 0, a \neq 1$. Так как для $a > 0$ значение $a^b$ всегда положительно, условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически, и отдельная проверка ОДЗ для найденных корней не требуется (но помнить об этом условии важно при решении более сложных задач).

Пример: Решить уравнение $\log_3(2x-5) = 2$.

Решение:

Согласно определению логарифма, переходим к равносильному уравнению:

$2x - 5 = 3^2$

$2x - 5 = 9$

$2x = 14$

$x = 7$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Подлогарифмическое выражение $2x-5$ должно быть больше нуля: $2(7) - 5 = 14 - 5 = 9 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: 7.

2. Метод потенцирования

Этот метод используется для уравнений вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Потенцирование — это операция, обратная логарифмированию. Если логарифмы двух выражений по одному и тому же основанию равны, то равны и сами выражения. Уравнение сводится к системе:

$$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

Поскольку $f(x)=g(x)$, достаточно проверить выполнение только одного из двух неравенств (например, $g(x) > 0$), так как выполнение одного автоматически влечет за собой выполнение другого.

Пример: Решить уравнение $\log_{0.5}(x^2 - 4) = \log_{0.5}(3x)$.

Решение:

Приравниваем подлогарифмические выражения:

$x^2 - 4 = 3x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета находим корни квадратного уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить корни по ОДЗ. Выберем более простое условие $3x > 0$, что означает $x>0$.

• Проверяем $x_1 = 4$: $4 > 0$. Корень подходит.
• Проверяем $x_2 = -1$: $-1 \ngtr 0$. Корень является посторонним.

Ответ: 4.

3. Метод введения новой переменной (замены)

Если в уравнении многократно встречается одно и то же логарифмическое выражение, его можно заменить новой переменной. Это позволяет свести исходное логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому (чаще всего квадратному) уравнению.

Пример: Решить уравнение $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$. (здесь $\lg x$ — это $\log_{10} x$)

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Введем новую переменную: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Выполняем обратную замену:

1. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($10>0$ и $100>0$).

Ответ: 10; 100.

4. Метод приведения логарифмов к одному основанию

Если в уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями, их следует привести к одному основанию с помощью формулы перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

Пример: Решить уравнение $\log_3 x + \log_9 x = 6$.

Решение:

ОДЗ: $x>0$.

Приведем $\log_9 x$ к основанию 3:

$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x = 6$

$\frac{3}{2}\log_3 x = 6$

$\log_3 x = 6 \cdot \frac{2}{3}$

$\log_3 x = 4$

$x = 3^4 = 81$.

Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 81.

5. Метод логарифмирования

Этот метод применяется к уравнениям, в которых переменная находится и в основании, и в показателе степени, например, $f(x)^{g(x)} = h(x)$. Обе части уравнения логарифмируются по некоторому удобному основанию. При этом необходимо убедиться, что обе части уравнения положительны.

Пример: Решить уравнение $x^{\log_2 x} = 16$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$. При этом условии обе части уравнения положительны.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2 16$

Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:

$\log_2 x \cdot \log_2 x = 4$

$(\log_2 x)^2 = 4$

Отсюда получаем два случая:

1. $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
2. $\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Оба корня ($4$ и $1/4$) положительны и входят в ОДЗ.

Ответ: 0.25; 4.

6. Функционально-графический метод

Иногда уравнение $f(x) = g(x)$ невозможно решить стандартными алгебраическими методами. В таких случаях можно исследовать свойства функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Например, если одна из функций является монотонно возрастающей, а другая — монотонно убывающей, то уравнение имеет не более одного корня. Этот корень часто можно найти подбором и доказать его единственность.

Пример: Решить уравнение $\log_3 x = 4 - x$.

Решение:

Рассмотрим две функции: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 4 - x$.

Функция $y_1 = \log_3 x$ является строго возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$).

Функция $y_2 = 4 - x$ (линейная) является строго убывающей на всей числовой оси.

Если одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.

При $x = 3$:

Левая часть: $\log_3 3 = 1$.

Правая часть: $4 - 3 = 1$.

Поскольку $1=1$, то $x=3$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, то это и есть решение.

Ответ: 3.