Страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Объясните, какой смысл придаётся в математике символу $a^{\alpha}$, где $\alpha$ — иррациональное число.

Рассмотрите каждый из указанных ниже случаев:

a) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a = 1$;

г) $a = 0$;

д) $a < 0$.

В математике степень с иррациональным показателем, $a^\alpha$, где $\alpha$ — иррациональное число, определяется через предел степени с рациональным показателем. Основное требование для такого определения — положительность основания $a$. Идея заключается в том, чтобы выбрать последовательность рациональных чисел $r_1, r_2, r_3, \dots$, которая сходится к иррациональному числу $\alpha$ (то есть $\lim_{n \to \infty} r_n = \alpha$), и затем определить $a^\alpha$ как предел последовательности $a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3}, \dots$.

Более формально и универсально (для $a > 0$) степень с иррациональным показателем определяется через экспоненциальную и логарифмическую функции:$a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$Это определение корректно, поскольку для любого $a > 0$ число $\ln a$ является действительным числом, произведение $\alpha \ln a$ также является действительным числом, а экспоненциальная функция $e^x$ определена для любого действительного показателя $x$.

Рассмотрим конкретные случаи:

а) $a > 1$

В этом случае основание степени больше единицы. Показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что если мы возьмем две последовательности рациональных чисел: одну возрастающую $(r_n)$, а другую убывающую $(s_n)$, обе сходящиеся к $\alpha$ (например, десятичные приближения $\alpha$ с недостатком и с избытком), то последовательность $a^{r_n}$ будет возрастающей, а последовательность $a^{s_n}$ — убывающей. Обе эти последовательности ограничены (например, $a^{r_n} < a^{s_1}$ и $a^{s_n} > a^{r_1}$) и, по теореме Вейерштрасса, имеют предел. Доказывается, что эти пределы равны друг другу. Это общее значение и принимается за определение $a^\alpha$.Например, для вычисления $2^\pi$, мы можем рассмотреть последовательность $2^3, 2^{3.1}, 2^{3.14}, 2^{3.141}, \dots$. Предел этой последовательности и есть $2^\pi$.Используя формальное определение, $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$. Так как $a > 1$, то $\ln a > 0$. Произведение $\alpha \ln a$ — действительное число, и $e^{\alpha \ln a}$ однозначно определяет положительное действительное число.

Ответ: Символ $a^\alpha$ при $a > 1$ и иррациональном $\alpha$ обозначает положительное действительное число, которое является пределом последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\alpha$. Это число также может быть вычислено по формуле $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$.

б) $0 < a < 1$

В этом случае основание степени находится между нулем и единицей. Показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Аналогично предыдущему случаю, мы можем определить $a^\alpha$ через предел. Если мы возьмем возрастающую последовательность рациональных чисел $r_n \to \alpha$, то последовательность $a^{r_n}$ будет убывающей и ограниченной снизу (например, нулем). Она будет иметь предел. Этот предел и есть $a^\alpha$.Например, для вычисления $(0.5)^{\sqrt{2}}$, мы можем рассмотреть последовательность $(0.5)^1, (0.5)^{1.4}, (0.5)^{1.41}, \dots$.Формальное определение $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$ также полностью применимо. Так как $0 < a < 1$, то $\ln a < 0$. Произведение $\alpha \ln a$ — действительное число, и $e^{\alpha \ln a}$ однозначно определяет положительное действительное число.

Ответ: Символ $a^\alpha$ при $0 < a < 1$ и иррациональном $\alpha$ обозначает положительное действительное число, определенное так же, как и в случае $a > 1$: через предел последовательности $a^{r_n}$ или по формуле $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$.

в) $a = 1$

Это тривиальный случай. Для любого рационального числа $r$ известно, что $1^r = 1$. Если мы возьмем любую последовательность рациональных чисел $r_n$, сходящуюся к иррациональному числу $\alpha$, то соответствующая последовательность степеней будет $1^{r_1}, 1^{r_2}, \dots$, то есть $1, 1, 1, \dots$. Предел такой последовательности равен 1.По формальному определению: $1^\alpha = e^{\alpha \ln 1} = e^{\alpha \cdot 0} = e^0 = 1$.

Ответ: При $a=1$ и любом иррациональном $\alpha$ значение выражения $a^\alpha$ всегда равно 1.

г) $a = 0$

Здесь ситуация зависит от знака иррационального показателя $\alpha$.1. Если $\alpha > 0$ (например, $\alpha = \sqrt{2}$ или $\alpha = \pi$). Мы можем выбрать последовательность положительных рациональных чисел $r_n$, сходящуюся к $\alpha$. Для любого положительного рационального числа $r > 0$ мы имеем $0^r = 0$. Таким образом, мы получаем последовательность $0, 0, 0, \dots$, предел которой равен 0. Следовательно, для $\alpha > 0$ полагают $0^\alpha = 0$.2. Если $\alpha < 0$ (например, $\alpha = -\sqrt{2}$). Любая последовательность рациональных чисел $r_n$, сходящаяся к $\alpha$, с некоторого момента будет состоять из отрицательных чисел. Для любого отрицательного рационального числа $r < 0$ выражение $0^r$ не определено, так как $0^r = 0^{-|r|} = 1/0^{|r|}$, что предполагает деление на ноль. Таким образом, определить предел невозможно.

Ответ: Если иррациональное число $\alpha > 0$, то $0^\alpha = 0$. Если иррациональное число $\alpha < 0$, то выражение $0^\alpha$ не определено.

д) $a < 0$

В области действительных чисел степень с отрицательным основанием и нецелым показателем определена не всегда. Например, $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ не является действительным числом, в то время как $(-8)^{1/3} = -2$ является. Степень $a^r$ с $a<0$ и рациональным показателем $r = p/q$ (где дробь несократима) определена в действительных числах только если знаменатель $q$ — нечетное число.Для любого иррационального числа $\alpha$ можно построить последовательность рациональных приближений $r_n = p_n/q_n$, в которой будут встречаться дроби как с нечетными, так и с четными знаменателями. Например, для $\alpha = \sqrt{2}$ последовательность приближений $1.4 = 14/10 = 7/5$, $1.41 = 141/100$, $1.414 = 1414/1000 = 707/500$. Для приближений с четными знаменателями (100, 500) выражение $(-2)^r$ не будет действительным числом.Поскольку последовательность $a^{r_n}$ содержит неопределенные (в действительных числах) члены, то ее предел в $\mathbb{R}$ не существует.В комплексном анализе такое выражение определяется, но оно является многозначным: $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$, где $\ln a$ для $a<0$ — комплексное число.

Ответ: В области действительных чисел выражение $a^\alpha$ для $a < 0$ и иррационального показателя $\alpha$ не определено.

2. Что такое показательная функция?

Показательная функция — это функция, заданная формулой $y = a^x$. В этой формуле $x$ является независимой переменной (аргументом), которая находится в показателе степени, а $a$ — это постоянное число, называемое основанием степени.

Ключевым для определения показательной функции являются ограничения, накладываемые на основание $a$:

• Основание должно быть строго больше нуля: $a > 0$. Это условие необходимо, чтобы функция была определена для всех действительных значений $x$. Например, при отрицательном основании, как в выражении $(-4)^{1/2}$, результат не будет являться действительным числом.
• Основание не должно равняться единице: $a \neq 1$. Если $a = 1$, функция вырождается в постоянную $y = 1^x = 1$, график которой — прямая линия. Такая функция не проявляет характерного экспоненциального поведения.

Свойства показательной функции кардинально различаются в зависимости от величины основания $a$:

Случай 1: Основание больше единицы ($a > 1$)
В этом случае функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. График функции стремительно растет. Примеры: $y = 2^x$, $y = 10^x$, $y = e^x$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$)
В этом случае функция является монотонно убывающей. При увеличении $x$ значение $y$ уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Примеры: $y = (1/2)^x$, $y = (0.1)^x$.

Общие свойства для всех показательных функций:

• Область определения — множество всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений — множество всех положительных действительных чисел: $E(f) = (0; +\infty)$. Это значит, что график функции всегда находится выше оси абсцисс.
• График любой показательной функции проходит через точку $(0, 1)$, поскольку $a^0 = 1$ для любого разрешенного $a$.
• Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции.

Показательные функции играют важную роль в моделировании реальных процессов, таких как рост населения, радиоактивный распад, вычисление сложных процентов в финансовой математике и многие другие явления, где скорость изменения величины пропорциональна самой величине.

Ответ: Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где основание $a$ является постоянным положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а аргумент $x$ находится в показателе степени.

3. Чему равен $\lim_{x \to -\infty} a^x$, если $a > 1$?

Для нахождения предела $\lim_{x \to -\infty} a^x$ при условии $a > 1$, мы можем выполнить замену переменной.

Пусть $y = -x$. Из этого следует, что $x = -y$. Когда $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), новая переменная $y$ будет стремиться к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).

Теперь мы можем переписать исходный предел с новой переменной $y$: $$ \lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{y \to +\infty} a^{-y} $$

Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы получаем: $$ \lim_{y \to +\infty} a^{-y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{1}{a^y} $$

Рассмотрим знаменатель дроби. Так как по условию основание степени $a > 1$, то при $y \to +\infty$ значение выражения $a^y$ неограниченно возрастает, то есть $\lim_{y \to +\infty} a^y = +\infty$.

Таким образом, мы имеем предел от дроби, в которой числитель — константа (1), а знаменатель стремится к бесконечности. Такой предел равен нулю. $$ \lim_{y \to +\infty} \frac{1}{a^y} = \frac{1}{+\infty} = 0 $$

Это также можно понять, рассмотрев график показательной функции $f(x) = a^x$ при $a > 1$. График этой функции проходит через точку $(0, 1)$ и является возрастающим. При движении влево по оси $x$ (т.е. при $x \to -\infty$), график функции асимптотически приближается к оси абсцисс (линии $y=0$), но не пересекает её. Следовательно, предел функции при $x \to -\infty$ равен 0.

Ответ: 0

4. Чему равен $\lim_{x \to +\infty} a^x$, если $0 < a < 1$?

Для нахождения предела $ \lim_{x \to +\infty} a^x $ при условии $ 0 < a < 1 $, рассмотрим поведение показательной функции $ f(x) = a^x $.

Условие $ 0 < a < 1 $ означает, что основание степени $ a $ является положительным числом, меньшим единицы (например, $ a = 1/2 $, $ a = 0.1 $ и т.д.). Когда мы возводим такое число в степень, которая стремится к плюс бесконечности ($ x \to +\infty $), результат будет становиться все меньше и меньше, стремясь к нулю.

Проиллюстрируем это на примере. Пусть $ a = \frac{1}{2} $:

• При $ x=1 $, $ (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2} = 0.5 $
• При $ x=2 $, $ (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25 $
• При $ x=3 $, $ (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0.125 $
• При $ x=10 $, $ (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024} \approx 0.000976 $

Как видно из примера, с неограниченным увеличением $ x $ значение $ a^x $ уменьшается и приближается к нулю.

Формально это можно доказать следующим образом. Поскольку $ 0 < a < 1 $, мы можем представить $ a $ в виде $ a = \frac{1}{b} $, где $ b > 1 $. Тогда предел можно переписать:

$ \lim_{x \to +\infty} a^x = \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{b})^x = \lim_{x \to +\infty} \frac{1^x}{b^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{b^x} $

Так как $ b > 1 $, то при $ x \to +\infty $, знаменатель $ b^x $ стремится к бесконечности ($ b^x \to +\infty $). Когда числитель дроби является константой (в данном случае 1), а знаменатель неограниченно возрастает, вся дробь стремится к нулю.

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{b^x} = 0 $

Графически, функция $ y = a^x $ при $ 0 < a < 1 $ является убывающей, и ось абсцисс ($ y=0 $) служит для нее горизонтальной асимптотой при $ x \to +\infty $. Таким образом, искомый предел равен нулю.

Ответ: $ \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 $.

5. В каком случае показательная функция $y = a^x$ возрастает, а в каком — убывает?

Показательная функция задается формулой $y = a^x$, где $a$ — основание степени, а $x$ — показатель степени. По определению, основание показательной функции должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$. Характер монотонности функции (возрастание или убывание) полностью определяется значением ее основания $a$.

возрастает

Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. В нашем случае, для функции $y=a^x$, это означает, что $a^{x_2} > a^{x_1}$.

Чтобы определить, при каких значениях $a$ это условие выполняется, разделим неравенство на $a^{x_1}$ (это можно сделать, так как $a^{x_1} > 0$):
$\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} > 1$
По свойству степеней это равносильно:
$a^{x_2 - x_1} > 1$

Так как по условию $x_2 > x_1$, то показатель степени $x_2 - x_1$ является положительным числом. Неравенство $a^p > 1$ при $p > 0$ выполняется только тогда, когда основание $a$ больше единицы.

Следовательно, показательная функция $y = a^x$ возрастает на всей своей области определения, если ее основание $a > 1$.

Пример: $y = 3^x$. Здесь $a=3 > 1$. Функция возрастает. Для $x_1=2$ и $x_2=3$ имеем $y_1=3^2=9$ и $y_2=3^3=27$. Так как $x_2>x_1$, то и $y_2>y_1$.

Ответ: Показательная функция $y = a^x$ возрастает при $a > 1$.

убывает

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. Для функции $y=a^x$ это означает, что $a^{x_2} < a^{x_1}$.

Проведем аналогичные рассуждения. Разделим неравенство на $a^{x_1}$:
$\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} < 1$
$a^{x_2 - x_1} < 1$

Показатель степени $x_2 - x_1$ положителен. Неравенство $a^p < 1$ при $p > 0$ и $a>0$ выполняется только тогда, когда основание $a$ находится в интервале от 0 до 1.

Следовательно, показательная функция $y = a^x$ убывает на всей своей области определения, если ее основание $0 < a < 1$.

Пример: $y = (\frac{1}{2})^x$. Здесь $a=\frac{1}{2}$, и $0 < a < 1$. Функция убывает. Для $x_1=2$ и $x_2=3$ имеем $y_1=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ и $y_2=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$. Так как $x_2>x_1$, то $y_2<y_1$.

Ответ: Показательная функция $y = a^x$ убывает при $0 < a < 1$.

6. В каком случае график показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, а в каком — при $x \to -\infty$?

Показательная функция задается формулой $y = a^x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). Наличие и расположение горизонтальной асимптоты у графика этой функции зависит от значения основания $a$. Горизонтальная асимптота — это прямая вида $y=L$, к которой график функции неограниченно приближается, когда аргумент $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$. Это означает, что должен существовать конечный предел функции при стремлении $x$ к бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$. Для функции $y=a^x$ асимптотой всегда является ось Ox, то есть прямая $y=0$. Вопрос состоит в том, при каких значениях $a$ это происходит на положительной или отрицательной бесконечности.

В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$

График функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, если существует конечный предел $\lim_{x \to +\infty} a^x$.

Рассмотрим два возможных интервала для основания $a$:

• Если $a > 1$, функция является возрастающей. При неограниченном увеличении $x$, значение $a^x$ также неограниченно возрастает. Следовательно, $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$. Предел не является конечным числом, поэтому в этом случае горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. При неограниченном увеличении $x$, значение $a^x$ становится все меньше и стремится к нулю. Например, если $a=0.5$, то $0.5^2=0.25$, $0.5^3=0.125$, и т.д. Таким образом, $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$.

Итак, график функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$ в том случае, когда $0 < a < 1$.

Ответ: при $0 < a < 1$.

В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \to -\infty$

График функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to -\infty$, если существует конечный предел $\lim_{x \to -\infty} a^x$.

Снова рассмотрим два возможных интервала для основания $a$:

• Если $a > 1$, для нахождения предела при $x \to -\infty$ удобно сделать замену переменной $x=-t$, где $t \to +\infty$. Тогда предел примет вид: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{t \to +\infty} a^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{a^t}$. Поскольку $a>1$, знаменатель $a^t$ стремится к $+\infty$ при $t \to +\infty$, а значит, вся дробь стремится к 0. Таким образом, $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$.
• Если $0 < a < 1$, выполним ту же замену $x=-t$. Предел будет равен: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{t \to +\infty} a^{-t} = \lim_{t \to +\infty} (\frac{1}{a})^t$. Так как $0 < a < 1$, то основание новой степени $\frac{1}{a}$ будет больше 1. Следовательно, предел равен $+\infty$. Предел не является конечным числом, и горизонтальной асимптоты в этом случае нет.

Итак, график функции $y=a^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ в том случае, когда $a > 1$.

Ответ: при $a > 1$.

7. Напишите уравнение асимптоты для графика функции:

а) $y = 2^x$;

в) $y = 3^x + 2$;

д) $y = 4.3^x - 3$;

б) $y = (0.3)^x$;

г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x - 1$;

е) $y = 0.5^x + 7$.

Все представленные функции являются экспоненциальными. Общий вид такой функции $y = k \cdot a^x + b$. График такой функции имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой определяется постоянным слагаемым $b$. Это происходит потому, что при стремлении $x$ к бесконечности (положительной или отрицательной, в зависимости от основания $a$) член $k \cdot a^x$ стремится к нулю.

а) Для функции $y = 2^x$, мы можем представить её в виде $y = 2^x + 0$. Здесь постоянное слагаемое $b=0$. Поскольку основание $a=2 > 1$, при $x \to -\infty$, значение $2^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y=0$.
Ответ: $y=0$.

б) Для функции $y = (0,3)^x$, мы можем представить её в виде $y = (0,3)^x + 0$. Здесь постоянное слагаемое $b=0$. Поскольку основание $a=0,3$ находится в интервале $(0, 1)$, при $x \to +\infty$, значение $(0,3)^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y=0$.
Ответ: $y=0$.

в) Для функции $y = 3^x + 2$, постоянное слагаемое $b=2$. Поскольку основание $a=3 > 1$, при $x \to -\infty$, значение $3^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y = 0 + 2 = 2$.
Ответ: $y=2$.

г) Для функции $y = (\frac{2}{3})^x - 1$, постоянное слагаемое $b=-1$. Поскольку основание $a=\frac{2}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, при $x \to +\infty$, значение $(\frac{2}{3})^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y = 0 - 1 = -1$.
Ответ: $y=-1$.

д) Для функции $y = 4,3^x - 3$, постоянное слагаемое $b=-3$. Поскольку основание $a=4,3 > 1$, при $x \to -\infty$, значение $4,3^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y = 0 - 3 = -3$.
Ответ: $y=-3$.

е) Для функции $y = 0,5^x + 7$, постоянное слагаемое $b=7$. Поскольку основание $a=0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, при $x \to +\infty$, значение $0,5^x$ стремится к 0. Таким образом, график функции приближается к прямой $y = 0 + 7 = 7$.
Ответ: $y=7$.

8. Как иногда называют график показательной функции?

Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).

График этой функции представляет собой гладкую кривую, которую в математике и ее приложениях принято называть экспонентой или, более полно, экспоненциальной кривой.

Сам термин "экспонента" происходит от латинского слова exponens, что означает "показывающий". Это название отражает суть функции, где независимая переменная $x$ находится в показателе степени.

Хотя этот термин применим к графику любой показательной функции, очень часто под "экспонентой" подразумевают график функции с основанием $e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718$), то есть график функции $y = e^x$. Эта функция обладает уникальными свойствами (например, ее производная равна самой функции) и является одной из важнейших в математическом анализе.

Основные характеристики графика показательной функции:

• Всегда проходит через точку $(0, 1)$, поскольку $a^0 = 1$ для любого допустимого $a$.
• Расположен полностью в верхней полуплоскости (значения $y$ всегда положительны), а ось абсцисс ($y=0$) служит для него горизонтальной асимптотой.
• Характер монотонности зависит от основания: если $a > 1$, функция возрастает на всей области определения; если $0 < a < 1$, функция убывает.

Таким образом, "экспонента" — это общепринятое название для характерной кривой, описывающей экспоненциальный рост или убывание.

Ответ: экспонента (или экспоненциальная кривая).