Номер 1, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §39 - номер 1, страница 281.

Условие.

1. Объясните, какой смысл придаётся в математике символу $a^{\alpha}$, где $\alpha$ — иррациональное число.

Рассмотрите каждый из указанных ниже случаев:

a) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a = 1$;

г) $a = 0$;

д) $a < 0$.

Решение 6.

В математике степень с иррациональным показателем, $a^\alpha$, где $\alpha$ — иррациональное число, определяется через предел степени с рациональным показателем. Основное требование для такого определения — положительность основания $a$. Идея заключается в том, чтобы выбрать последовательность рациональных чисел $r_1, r_2, r_3, \dots$, которая сходится к иррациональному числу $\alpha$ (то есть $\lim_{n \to \infty} r_n = \alpha$), и затем определить $a^\alpha$ как предел последовательности $a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3}, \dots$.

Более формально и универсально (для $a > 0$) степень с иррациональным показателем определяется через экспоненциальную и логарифмическую функции:$a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$Это определение корректно, поскольку для любого $a > 0$ число $\ln a$ является действительным числом, произведение $\alpha \ln a$ также является действительным числом, а экспоненциальная функция $e^x$ определена для любого действительного показателя $x$.

Рассмотрим конкретные случаи:

а) $a > 1$

В этом случае основание степени больше единицы. Показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что если мы возьмем две последовательности рациональных чисел: одну возрастающую $(r_n)$, а другую убывающую $(s_n)$, обе сходящиеся к $\alpha$ (например, десятичные приближения $\alpha$ с недостатком и с избытком), то последовательность $a^{r_n}$ будет возрастающей, а последовательность $a^{s_n}$ — убывающей. Обе эти последовательности ограничены (например, $a^{r_n} < a^{s_1}$ и $a^{s_n} > a^{r_1}$) и, по теореме Вейерштрасса, имеют предел. Доказывается, что эти пределы равны друг другу. Это общее значение и принимается за определение $a^\alpha$.Например, для вычисления $2^\pi$, мы можем рассмотреть последовательность $2^3, 2^{3.1}, 2^{3.14}, 2^{3.141}, \dots$. Предел этой последовательности и есть $2^\pi$.Используя формальное определение, $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$. Так как $a > 1$, то $\ln a > 0$. Произведение $\alpha \ln a$ — действительное число, и $e^{\alpha \ln a}$ однозначно определяет положительное действительное число.

Ответ: Символ $a^\alpha$ при $a > 1$ и иррациональном $\alpha$ обозначает положительное действительное число, которое является пределом последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\alpha$. Это число также может быть вычислено по формуле $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$.

б) $0 < a < 1$

В этом случае основание степени находится между нулем и единицей. Показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Аналогично предыдущему случаю, мы можем определить $a^\alpha$ через предел. Если мы возьмем возрастающую последовательность рациональных чисел $r_n \to \alpha$, то последовательность $a^{r_n}$ будет убывающей и ограниченной снизу (например, нулем). Она будет иметь предел. Этот предел и есть $a^\alpha$.Например, для вычисления $(0.5)^{\sqrt{2}}$, мы можем рассмотреть последовательность $(0.5)^1, (0.5)^{1.4}, (0.5)^{1.41}, \dots$.Формальное определение $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$ также полностью применимо. Так как $0 < a < 1$, то $\ln a < 0$. Произведение $\alpha \ln a$ — действительное число, и $e^{\alpha \ln a}$ однозначно определяет положительное действительное число.

Ответ: Символ $a^\alpha$ при $0 < a < 1$ и иррациональном $\alpha$ обозначает положительное действительное число, определенное так же, как и в случае $a > 1$: через предел последовательности $a^{r_n}$ или по формуле $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$.

в) $a = 1$

Это тривиальный случай. Для любого рационального числа $r$ известно, что $1^r = 1$. Если мы возьмем любую последовательность рациональных чисел $r_n$, сходящуюся к иррациональному числу $\alpha$, то соответствующая последовательность степеней будет $1^{r_1}, 1^{r_2}, \dots$, то есть $1, 1, 1, \dots$. Предел такой последовательности равен 1.По формальному определению: $1^\alpha = e^{\alpha \ln 1} = e^{\alpha \cdot 0} = e^0 = 1$.

Ответ: При $a=1$ и любом иррациональном $\alpha$ значение выражения $a^\alpha$ всегда равно 1.

г) $a = 0$

Здесь ситуация зависит от знака иррационального показателя $\alpha$.1. Если $\alpha > 0$ (например, $\alpha = \sqrt{2}$ или $\alpha = \pi$). Мы можем выбрать последовательность положительных рациональных чисел $r_n$, сходящуюся к $\alpha$. Для любого положительного рационального числа $r > 0$ мы имеем $0^r = 0$. Таким образом, мы получаем последовательность $0, 0, 0, \dots$, предел которой равен 0. Следовательно, для $\alpha > 0$ полагают $0^\alpha = 0$.2. Если $\alpha < 0$ (например, $\alpha = -\sqrt{2}$). Любая последовательность рациональных чисел $r_n$, сходящаяся к $\alpha$, с некоторого момента будет состоять из отрицательных чисел. Для любого отрицательного рационального числа $r < 0$ выражение $0^r$ не определено, так как $0^r = 0^{-|r|} = 1/0^{|r|}$, что предполагает деление на ноль. Таким образом, определить предел невозможно.

Ответ: Если иррациональное число $\alpha > 0$, то $0^\alpha = 0$. Если иррациональное число $\alpha < 0$, то выражение $0^\alpha$ не определено.

д) $a < 0$

В области действительных чисел степень с отрицательным основанием и нецелым показателем определена не всегда. Например, $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ не является действительным числом, в то время как $(-8)^{1/3} = -2$ является. Степень $a^r$ с $a<0$ и рациональным показателем $r = p/q$ (где дробь несократима) определена в действительных числах только если знаменатель $q$ — нечетное число.Для любого иррационального числа $\alpha$ можно построить последовательность рациональных приближений $r_n = p_n/q_n$, в которой будут встречаться дроби как с нечетными, так и с четными знаменателями. Например, для $\alpha = \sqrt{2}$ последовательность приближений $1.4 = 14/10 = 7/5$, $1.41 = 141/100$, $1.414 = 1414/1000 = 707/500$. Для приближений с четными знаменателями (100, 500) выражение $(-2)^r$ не будет действительным числом.Поскольку последовательность $a^{r_n}$ содержит неопределенные (в действительных числах) члены, то ее предел в $\mathbb{R}$ не существует.В комплексном анализе такое выражение определяется, но оно является многозначным: $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$, где $\ln a$ для $a<0$ — комплексное число.

Ответ: В области действительных чисел выражение $a^\alpha$ для $a < 0$ и иррационального показателя $\alpha$ не определено.