Номер 5, страница 259, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §37 - номер 5, страница 259.

Условие.

5. Вычислите $8^{\frac{2}{3}}$, описав последовательность своих действий.

Решение 6.

Для вычисления значения выражения $8^{-\frac{2}{3}}$ необходимо выполнить следующие действия в соответствии со свойствами степеней.

1. Преобразование отрицательной степени
Первым шагом воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применив это правило к нашему выражению, мы избавляемся от знака минуса в показателе, "перевернув" основание:
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

2. Работа с дробной степенью
Теперь нам нужно вычислить знаменатель $8^{\frac{2}{3}}$. Степень с дробным показателем $\frac{m}{n}$ можно представить как извлечение корня $n$-ой степени из основания, возведенного в степень $m$. То есть, $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. Удобнее сначала извлечь корень.
В нашем случае $a=8$, $n=3$ (знаменатель дроби), $m=2$ (числитель дроби).
$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2$
Сначала вычисляем кубический корень из 8. Нам нужно найти число, которое при умножении само на себя три раза даст 8. Это число 2, так как $2 \times 2 \times 2 = 8$.
$\sqrt[3]{8} = 2$
Теперь возводим полученный результат в квадрат (в степень, равную числителю дроби):
$2^2 = 4$
Таким образом, мы нашли значение знаменателя: $8^{\frac{2}{3}} = 4$.

3. Получение окончательного ответа
На последнем шаге подставляем вычисленное значение знаменателя обратно в выражение, полученное на первом шаге:
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$
Это и есть итоговый результат. Его также можно записать в виде десятичной дроби: $0.25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$