Номер 7, страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §35. ч. 1 - номер 7, страница 249.

7. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие – нет:

a) $ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[7]{a} $;

б) $ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a} $;

в) $ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^7} $?

Для проверки верности представленных соотношений необходимо выполнить умножение корней в левой части каждого равенства. Основное правило при умножении корней с разными показателями — привести их к общему показателю, который является наименьшим общим кратным (НОК) исходных показателей.

Во всех трех случаях нам нужно найти произведение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}$.

1. Показатели корней — 3 и 4. Найдем их наименьшее общее кратное: НОК(3, 4) = 12. Это будет новый, общий показатель корня.

2. Приведем каждый корень к новому показателю. Для этого нужно показатель корня и показатель степени подкоренного выражения домножить на одно и то же число.

Для $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^1}$ мы домножаем показатель корня (3) и показатель степени подкоренного выражения (1) на $12 / 3 = 4$:

$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3 \cdot 4]{a^{1 \cdot 4}} = \sqrt[12]{a^4}$

Для $\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a^1}$ мы домножаем показатель корня (4) и показатель степени подкоренного выражения (1) на $12 / 4 = 3$:

$\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^3}$

3. Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^4} \cdot \sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12]{a^4 \cdot a^3} = \sqrt[12]{a^{4+3}} = \sqrt[12]{a^7}$

Таким образом, правильный результат умножения $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}$ это $\sqrt[12]{a^7}$. Теперь сравним этот результат с правыми частями каждого из предложенных соотношений.

а) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[7]{a}$

Мы получили, что левая часть равна $\sqrt[12]{a^7}$. Правая часть равна $\sqrt[7]{a}$.

Равенство $\sqrt[12]{a^7} = \sqrt[7]{a}$ неверно, так как ни показатели корней, ни показатели степеней подкоренных выражений не совпадают. Если представить их в виде степеней: $a^{7/12} = a^{1/7}$, что неверно, так как $7/12 \neq 1/7$. Следовательно, соотношение не является верным.

Ответ: неверно.

б) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a}$

Левая часть равна $\sqrt[12]{a^7}$. Правая часть равна $\sqrt[12]{a}$.

Равенство $\sqrt[12]{a^7} = \sqrt[12]{a}$ неверно, так как подкоренные выражения $a^7$ и $a$ в общем случае не равны. Следовательно, соотношение не является верным.

Ответ: неверно.

в) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[12]{a^7}$

Левая часть, как мы вычислили, равна $\sqrt[12]{a^7}$. Правая часть также равна $\sqrt[12]{a^7}$.

Поскольку левая и правая части равенства совпадают ($\sqrt[12]{a^7} = \sqrt[12]{a^7}$), данное соотношение является верным.

Ответ: верно.