Номер 2, страница 248, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §35 - номер 2, страница 248.

Условие.

2. Всегда ли верно равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$? Если не всегда, то приведите пример, когда оно верно, и пример, когда оно неверно.

Решение 6.

Равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$ верно не всегда. Правильность этого равенства зависит от знака числа $a$.

Общее правило для извлечения корня четной степени из числа, возведенного в ту же степень, выглядит так: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, где $|x|$ — модуль числа $x$. Это связано с тем, что результат извлечения арифметического корня четной степени из любого неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом.

В нашем случае, показатель корня $4$ — четное число. Поэтому $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$ будет верным только в том случае, когда $|a| = a$. Это условие выполняется для всех неотрицательных чисел, то есть при $a \ge 0$. Если же $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то $|a| = -a$, и равенство будет неверным, так как мы получим $-a = a$, что возможно только при $a=0$.

Пример, когда равенство верно

Возьмем любое неотрицательное число, например, $a = 3$. Подставим это значение в исходное равенство:

$\sqrt[4]{3^4} = \sqrt[4]{81} = 3$

В результате получаем $3 = 3$, что является верным равенством.

Ответ: при $a = 3$ (и любом $a \ge 0$) равенство верно.

Пример, когда равенство неверно

Возьмем любое отрицательное число, например, $a = -3$. Подставим это значение в левую часть равенства:

$\sqrt[4]{(-3)^4} = \sqrt[4]{81} = 3$

Теперь сравним полученный результат с правой частью равенства, которая равна $a = -3$.

Получаем $3 \ne -3$. Равенство не выполняется.

Ответ: при $a = -3$ (и любом $a < 0$) равенство неверно.