Номер 1, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §34 - номер 1, страница 243.

Условие.

1. Объясните, почему функция $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, является обратной по отношению к функции $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$, где $n = 2, 3, 4, \dots$

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что функция $g(x) = \sqrt[n]{x}$ является обратной по отношению к функции $f(x) = x^n$ на заданных промежутках, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $f(x)$ совпадает с областью значений функции $g(x)$, а область значений $f(x)$ совпадает с областью определения $g(x)$.
2. Композиция функций в обоих порядках дает тождественную функцию, то есть $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

Давайте проверим эти условия для заданных функций.

Пусть $f(x) = x^n$, где $x \in [0; +\infty)$ и $n \in \{2, 3, 4, ...\}$.

Пусть $g(x) = \sqrt[n]{x}$, где $x \in [0; +\infty)$ и $n \in \{2, 3, 4, ...\}$.

1. Анализ областей определения и областей значений.

• Функция $f(x) = x^n$:
  • Область определения задана условием: $D(f) = [0; +\infty)$.
  • Поскольку $x \ge 0$, то и $x^n \ge 0$. Функция является возрастающей на этом промежутке, и ее значения заполняют весь промежуток от $0$ до $+\infty$. Таким образом, область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.
• Функция $g(x) = \sqrt[n]{x}$:
  • Область определения задана условием: $D(g) = [0; +\infty)$.
  • Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Значения функции также заполняют весь промежуток от $0$ до $+\infty$. Таким образом, область значений: $E(g) = [0; +\infty)$.

Сравнивая области, мы видим, что:

• $D(f) = E(g) = [0; +\infty)$
• $E(f) = D(g) = [0; +\infty)$

Первое условие выполняется.

2. Проверка композиции функций.

Теперь проверим, является ли композиция функций тождественным преобразованием.

• Найдем $g(f(x))$:

  Подставим $f(x)$ в функцию $g(x)$:

  $g(f(x)) = g(x^n) = \sqrt[n]{x^n}$

  Поскольку по условию $x \in [0; +\infty)$, то есть $x$ — неотрицательное число, по определению арифметического корня n-й степени $\sqrt[n]{x^n} = x$.

  Следовательно, $g(f(x)) = x$ для всех $x \in D(f)$.

• Найдем $f(g(x))$:

  Подставим $g(x)$ в функцию $f(x)$:

  $f(g(x)) = f(\sqrt[n]{x}) = (\sqrt[n]{x})^n$

  По определению степени с рациональным показателем (или по определению корня), для любого $x$ из области определения корня $(\sqrt[n]{x})^n = x$. Так как $x \in [0; +\infty)$, это равенство верно.

  Следовательно, $f(g(x)) = x$ для всех $x \in D(g)$.

Второе условие также выполняется.

Альтернативное объяснение (построение обратной функции):

Обратную функцию можно найти, выразив переменную $x$ из уравнения $y = f(x)$ и затем поменяв местами $x$ и $y$.

1. Возьмем исходную функцию: $y = x^n$, где $x \in [0; +\infty)$ и $y \in [0; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$. Для этого извлечем корень n-й степени из обеих частей уравнения: $\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n}$.
3. Так как мы работаем на промежутке $x \ge 0$, то $\sqrt[n]{x^n} = x$. Получаем: $x = \sqrt[n]{y}$.
4. Теперь, согласно стандартной процедуре нахождения обратной функции, меняем местами переменные $x$ и $y$: $y = \sqrt[n]{x}$.

Мы получили в точности вторую функцию, данную в условии.

Ответ: Функция $y = \sqrt[n]{x}$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ является обратной к функции $y = x^n$ на том же промежутке, потому что области определения и значений этих функций взаимно соответствуют друг другу ($D(f)=E(g)$ и $E(f)=D(g)$), и их композиции в обоих порядках дают тождественную функцию ($(\sqrt[n]{x})^n = x$ и $\sqrt[n]{x^n} = x$ при $x \ge 0$).