Номер 1, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §34. ч. 1 - номер 1, страница 243.
№1 (с. 243)
Условие. №1 (с. 243)
скриншот условия

1. Объясните, почему функция $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, является обратной по отношению к функции $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$, где $n = 2, 3, 4, \dots$
Решение 6. №1 (с. 243)
Для того чтобы доказать, что функция $g(x) = \sqrt[n]{x}$ является обратной по отношению к функции $f(x) = x^n$ на заданных промежутках, необходимо проверить выполнение двух условий:
- Область определения функции $f(x)$ совпадает с областью значений функции $g(x)$, а область значений $f(x)$ совпадает с областью определения $g(x)$.
- Композиция функций в обоих порядках дает тождественную функцию, то есть $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.
Давайте проверим эти условия для заданных функций.
Пусть $f(x) = x^n$, где $x \in [0; +\infty)$ и $n \in \{2, 3, 4, ...\}$.
Пусть $g(x) = \sqrt[n]{x}$, где $x \in [0; +\infty)$ и $n \in \{2, 3, 4, ...\}$.
1. Анализ областей определения и областей значений.
- Функция $f(x) = x^n$:
- Область определения задана условием: $D(f) = [0; +\infty)$.
- Поскольку $x \ge 0$, то и $x^n \ge 0$. Функция является возрастающей на этом промежутке, и ее значения заполняют весь промежуток от $0$ до $+\infty$. Таким образом, область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.
- Функция $g(x) = \sqrt[n]{x}$:
- Область определения задана условием: $D(g) = [0; +\infty)$.
- Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Значения функции также заполняют весь промежуток от $0$ до $+\infty$. Таким образом, область значений: $E(g) = [0; +\infty)$.
Сравнивая области, мы видим, что:
- $D(f) = E(g) = [0; +\infty)$
- $E(f) = D(g) = [0; +\infty)$
Первое условие выполняется.
2. Проверка композиции функций.
Теперь проверим, является ли композиция функций тождественным преобразованием.
- Найдем $g(f(x))$:
Подставим $f(x)$ в функцию $g(x)$:
$g(f(x)) = g(x^n) = \sqrt[n]{x^n}$
Поскольку по условию $x \in [0; +\infty)$, то есть $x$ — неотрицательное число, по определению арифметического корня n-й степени $\sqrt[n]{x^n} = x$.
Следовательно, $g(f(x)) = x$ для всех $x \in D(f)$.
- Найдем $f(g(x))$:
Подставим $g(x)$ в функцию $f(x)$:
$f(g(x)) = f(\sqrt[n]{x}) = (\sqrt[n]{x})^n$
По определению степени с рациональным показателем (или по определению корня), для любого $x$ из области определения корня $(\sqrt[n]{x})^n = x$. Так как $x \in [0; +\infty)$, это равенство верно.
Следовательно, $f(g(x)) = x$ для всех $x \in D(g)$.
Второе условие также выполняется.
Альтернативное объяснение (построение обратной функции):
Обратную функцию можно найти, выразив переменную $x$ из уравнения $y = f(x)$ и затем поменяв местами $x$ и $y$.
- Возьмем исходную функцию: $y = x^n$, где $x \in [0; +\infty)$ и $y \in [0; +\infty)$.
- Выразим $x$ через $y$. Для этого извлечем корень n-й степени из обеих частей уравнения: $\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n}$.
- Так как мы работаем на промежутке $x \ge 0$, то $\sqrt[n]{x^n} = x$. Получаем: $x = \sqrt[n]{y}$.
- Теперь, согласно стандартной процедуре нахождения обратной функции, меняем местами переменные $x$ и $y$: $y = \sqrt[n]{x}$.
Мы получили в точности вторую функцию, данную в условии.
Ответ: Функция $y = \sqrt[n]{x}$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ является обратной к функции $y = x^n$ на том же промежутке, потому что области определения и значений этих функций взаимно соответствуют друг другу ($D(f)=E(g)$ и $E(f)=D(g)$), и их композиции в обоих порядках дают тождественную функцию ($(\sqrt[n]{x})^n = x$ и $\sqrt[n]{x^n} = x$ при $x \ge 0$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 243 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 243), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.