Номер 4, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §34. ч. 1 - номер 4, страница 243.

4. Если $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, то что вы можете сказать о чётности или нечётности функции $y = \sqrt[n]{x}$?

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x) = \sqrt[n]{x}$, где $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, необходимо проанализировать её область определения и проверить, выполняется ли одно из условий: $f(-x) = f(x)$ (чётность) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётность).

1. Область определения.

Функция $y = \sqrt[n]{x}$ с нечётным показателем корня $n$ определена для всех действительных чисел, так как корень нечётной степени можно извлечь из любого числа, как положительного, так и отрицательного. Например, $\sqrt[3]{27} = 3$ и $\sqrt[3]{-27} = -3$.

Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат, так как если число $x$ принадлежит области определения, то и число $-x$ также ей принадлежит. Первое условие для определения чётности/нечётности выполнено.

2. Проверка на чётность/нечётность.

Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x}$

Поскольку $n$ — нечётное число, для корня нечётной степени справедливо свойство: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для любого действительного числа $a$.

Применяя это свойство к нашей функции, получаем:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$

Теперь сравним полученный результат с $-f(x)$:

$-f(x) = -\sqrt[n]{x}$

Мы видим, что выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку область определения функции симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция $y = \sqrt[n]{x}$, где $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, является нечётной.