Номер 5, страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §35. ч. 1 - номер 5, страница 249.
№5 (с. 249)
Условие. №5 (с. 249)
скриншот условия

5. Дано соотношение $\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?
Решение 6. №5 (с. 249)
Проанализируем данное соотношение $\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$.
Корень четной степени (в данном случае 6-й степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Это называется арифметическим корнем.
- Левая часть, $\sqrt[6]{a \cdot b}$, определена при условии $a \cdot b \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ имеют одинаковый знак, либо одно из них (или оба) равно нулю.
- Правая часть, $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$, определена только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Различие в областях определения левой и правой частей является причиной того, что равенство не всегда является верным.
Пример, когда оно является верным равенством
Равенство будет верным, если выполняются условия для определения правой части, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Возьмем, к примеру, $a = 64$ и $b = 1$. Оба числа положительны.
Подставим значения в левую часть:
$\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{64 \cdot 1} = \sqrt[6]{64} = 2$.
Подставим значения в правую часть:
$\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{1} = 2 \cdot 1 = 2$.
Так как $2 = 2$, левая и правая части равны. Следовательно, для $a=64, b=1$ равенство является верным.
Ответ: Пример верного равенства: $a = 64, b = 1$.
Пример, когда не является
Равенство не будет верным, если левая часть определена, а правая — нет. Это происходит, когда $a \cdot b \ge 0$, но при этом $a$ и $b$ отрицательны.
Возьмем, к примеру, $a = -2$ и $b = -32$.
Подставим значения в левую часть:
$\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{(-2) \cdot (-32)} = \sqrt[6]{64} = 2$.
Левая часть определена и равна 2.
Теперь подставим значения в правую часть:
$\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{-2} \cdot \sqrt[6]{-32}$.
Выражения $\sqrt[6]{-2}$ и $\sqrt[6]{-32}$ не определены в области действительных чисел, так как нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа. Следовательно, вся правая часть не определена.
Поскольку левая часть равна 2, а правая не определена, равенство не является верным.
Ответ: Пример неверного равенства: $a = -2, b = -32$.
Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?
Условие $ab > 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).
Рассмотрим оба случая:
- Если $a > 0$ и $b > 0$, то исходное равенство $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$ является верным. В этом случае $|a|=a$ и $|b|=b$.
- Если $a < 0$ и $b < 0$, то левая часть равна $\sqrt[6]{ab}$. Поскольку $a$ и $b$ отрицательны, то $ab = (-a) \cdot (-b) = |a| \cdot |b|$. Таким образом, $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a| \cdot |b|}$. Так как $|a| > 0$ и $|b| > 0$, мы можем применить свойство корня для положительных чисел: $\sqrt[6]{|a| \cdot |b|} = \sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.
Чтобы объединить оба случая в одну формулу, которая будет верна при любом знаке $a$ и $b$ (лишь бы их произведение было положительным), нужно использовать модуль. Правильное тождество, верное для любых $a$ и $b$ таких, что $ab > 0$, выглядит так:
$\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$
Таким образом, чтобы соотношение было верным равенством при $ab > 0$, его правая часть должна выглядеть как произведение корней из модулей этих чисел.
Ответ: Правая часть должна иметь вид $\sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 249 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 249), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.