Номер 5, страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §35 - номер 5, страница 249.

Условие.

5. Дано соотношение $\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?

Решение 6.

Проанализируем данное соотношение $\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$.

Корень четной степени (в данном случае 6-й степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Это называется арифметическим корнем.

• Левая часть, $\sqrt[6]{a \cdot b}$, определена при условии $a \cdot b \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ имеют одинаковый знак, либо одно из них (или оба) равно нулю.
• Правая часть, $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$, определена только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Различие в областях определения левой и правой частей является причиной того, что равенство не всегда является верным.

Пример, когда оно является верным равенством

Равенство будет верным, если выполняются условия для определения правой части, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Возьмем, к примеру, $a = 64$ и $b = 1$. Оба числа положительны.

Подставим значения в левую часть:

$\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{64 \cdot 1} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Подставим значения в правую часть:

$\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{1} = 2 \cdot 1 = 2$.

Так как $2 = 2$, левая и правая части равны. Следовательно, для $a=64, b=1$ равенство является верным.

Ответ: Пример верного равенства: $a = 64, b = 1$.

Пример, когда не является

Равенство не будет верным, если левая часть определена, а правая — нет. Это происходит, когда $a \cdot b \ge 0$, но при этом $a$ и $b$ отрицательны.

Возьмем, к примеру, $a = -2$ и $b = -32$.

Подставим значения в левую часть:

$\sqrt[6]{a \cdot b} = \sqrt[6]{(-2) \cdot (-32)} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Левая часть определена и равна 2.

Теперь подставим значения в правую часть:

$\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{-2} \cdot \sqrt[6]{-32}$.

Выражения $\sqrt[6]{-2}$ и $\sqrt[6]{-32}$ не определены в области действительных чисел, так как нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа. Следовательно, вся правая часть не определена.

Поскольку левая часть равна 2, а правая не определена, равенство не является верным.

Ответ: Пример неверного равенства: $a = -2, b = -32$.

Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?

Условие $ab > 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).

Рассмотрим оба случая:

1. Если $a > 0$ и $b > 0$, то исходное равенство $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$ является верным. В этом случае $|a|=a$ и $|b|=b$.
2. Если $a < 0$ и $b < 0$, то левая часть равна $\sqrt[6]{ab}$. Поскольку $a$ и $b$ отрицательны, то $ab = (-a) \cdot (-b) = |a| \cdot |b|$. Таким образом, $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a| \cdot |b|}$. Так как $|a| > 0$ и $|b| > 0$, мы можем применить свойство корня для положительных чисел: $\sqrt[6]{|a| \cdot |b|} = \sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.

Чтобы объединить оба случая в одну формулу, которая будет верна при любом знаке $a$ и $b$ (лишь бы их произведение было положительным), нужно использовать модуль. Правильное тождество, верное для любых $a$ и $b$ таких, что $ab > 0$, выглядит так:

$\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$

Таким образом, чтобы соотношение было верным равенством при $ab > 0$, его правая часть должна выглядеть как произведение корней из модулей этих чисел.

Ответ: Правая часть должна иметь вид $\sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.