Номер 2, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §34 - номер 2, страница 243.

Условие.

2. Как связаны между собой графики функций $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$? Проиллюстрируйте свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.

Решение 6.

Функции $y = x^n$ и $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \in [0; +\infty)$ являются взаимно обратными. Две функции $f(x)$ и $g(x)$ называются взаимно обратными, если для всех $x$ из соответствующей области определения выполняются равенства $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

Проверим это для наших функций. Пусть $f(x) = x^n$ и $g(x) = \sqrt[n]{x}$.
1. $f(g(x)) = (\sqrt[n]{x})^n = x$
2. $g(f(x)) = \sqrt[n]{x^n} = x$ (поскольку $x \ge 0$)

Поскольку функции являются взаимно обратными, их графики симметричны друг другу относительно прямой $y=x$ (биссектрисы первого координатного угла). Это означает, что если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = x^n$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику функции $y = \sqrt[n]{x}$.

Проиллюстрируем свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.

В данном случае $n=2$. Функции $y=x^2$ (при $x \ge 0$) и $y=\sqrt{x}$ являются взаимно обратными.

Построим их графики.
График функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в начале координат. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$, с вершиной также в начале координат. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

Сравнивая координаты точек, мы видим подтверждение симметрии. Например, точка $(2, 4)$ лежит на графике $y=x^2$, а "перевернутая" точка $(4, 2)$ лежит на графике $y=\sqrt{x}$. Точка $(3, 9)$ лежит на графике $y=x^2$, а точка $(9, 3)$ — на графике $y=\sqrt{x}$.

Оба графика проходят через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, которые лежат на прямой $y=x$ и являются общими для обоих графиков.
На интервале $(0, 1)$ график $y=x^2$ расположен ниже прямой $y=x$, а график $y=\sqrt{x}$ — выше.
На интервале $(1, +\infty)$ ситуация обратная: график $y=x^2$ лежит выше прямой $y=x$, а график $y=\sqrt{x}$ — ниже.
Эта симметрия относительно прямой $y=x$ и есть ключевая связь между графиками данных функций.

Ответ: Графики функций $y = x^n$ и $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \in [0; +\infty)$ являются симметричными друг другу относительно прямой $y=x$. Это обусловлено тем, что данные функции на указанном промежутке являются взаимно обратными.