Номер 2, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §34. ч. 1 - номер 2, страница 243.
№2 (с. 243)
Условие. №2 (с. 243)
скриншот условия

2. Как связаны между собой графики функций $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$? Проиллюстрируйте свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.
Решение 6. №2 (с. 243)
Функции $y = x^n$ и $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \in [0; +\infty)$ являются взаимно обратными. Две функции $f(x)$ и $g(x)$ называются взаимно обратными, если для всех $x$ из соответствующей области определения выполняются равенства $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.
Проверим это для наших функций. Пусть $f(x) = x^n$ и $g(x) = \sqrt[n]{x}$.
1. $f(g(x)) = (\sqrt[n]{x})^n = x$
2. $g(f(x)) = \sqrt[n]{x^n} = x$ (поскольку $x \ge 0$)
Поскольку функции являются взаимно обратными, их графики симметричны друг другу относительно прямой $y=x$ (биссектрисы первого координатного угла). Это означает, что если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = x^n$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику функции $y = \sqrt[n]{x}$.
Проиллюстрируем свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.
В данном случае $n=2$. Функции $y=x^2$ (при $x \ge 0$) и $y=\sqrt{x}$ являются взаимно обратными.
Построим их графики.
График функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в начале координат. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$, с вершиной также в начале координат. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.
Сравнивая координаты точек, мы видим подтверждение симметрии. Например, точка $(2, 4)$ лежит на графике $y=x^2$, а "перевернутая" точка $(4, 2)$ лежит на графике $y=\sqrt{x}$. Точка $(3, 9)$ лежит на графике $y=x^2$, а точка $(9, 3)$ — на графике $y=\sqrt{x}$.
Оба графика проходят через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, которые лежат на прямой $y=x$ и являются общими для обоих графиков.
На интервале $(0, 1)$ график $y=x^2$ расположен ниже прямой $y=x$, а график $y=\sqrt{x}$ — выше.
На интервале $(1, +\infty)$ ситуация обратная: график $y=x^2$ лежит выше прямой $y=x$, а график $y=\sqrt{x}$ — ниже.
Эта симметрия относительно прямой $y=x$ и есть ключевая связь между графиками данных функций.
Ответ: Графики функций $y = x^n$ и $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \in [0; +\infty)$ являются симметричными друг другу относительно прямой $y=x$. Это обусловлено тем, что данные функции на указанном промежутке являются взаимно обратными.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 243 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 243), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.