Страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Объясните, почему функция $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, является обратной по отношению к функции $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$, где $n = 2, 3, 4, \dots$

Для того чтобы доказать, что функция $g(x) = \sqrt[n]{x}$ является обратной по отношению к функции $f(x) = x^n$ на заданных промежутках, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $f(x)$ совпадает с областью значений функции $g(x)$, а область значений $f(x)$ совпадает с областью определения $g(x)$.
2. Композиция функций в обоих порядках дает тождественную функцию, то есть $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

Давайте проверим эти условия для заданных функций.

Пусть $f(x) = x^n$, где $x \in [0; +\infty)$ и $n \in \{2, 3, 4, ...\}$.

Пусть $g(x) = \sqrt[n]{x}$, где $x \in [0; +\infty)$ и $n \in \{2, 3, 4, ...\}$.

1. Анализ областей определения и областей значений.

• Функция $f(x) = x^n$:
  • Область определения задана условием: $D(f) = [0; +\infty)$.
  • Поскольку $x \ge 0$, то и $x^n \ge 0$. Функция является возрастающей на этом промежутке, и ее значения заполняют весь промежуток от $0$ до $+\infty$. Таким образом, область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.
• Функция $g(x) = \sqrt[n]{x}$:
  • Область определения задана условием: $D(g) = [0; +\infty)$.
  • Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Значения функции также заполняют весь промежуток от $0$ до $+\infty$. Таким образом, область значений: $E(g) = [0; +\infty)$.

Сравнивая области, мы видим, что:

• $D(f) = E(g) = [0; +\infty)$
• $E(f) = D(g) = [0; +\infty)$

Первое условие выполняется.

2. Проверка композиции функций.

Теперь проверим, является ли композиция функций тождественным преобразованием.

• Найдем $g(f(x))$:

  Подставим $f(x)$ в функцию $g(x)$:

  $g(f(x)) = g(x^n) = \sqrt[n]{x^n}$

  Поскольку по условию $x \in [0; +\infty)$, то есть $x$ — неотрицательное число, по определению арифметического корня n-й степени $\sqrt[n]{x^n} = x$.

  Следовательно, $g(f(x)) = x$ для всех $x \in D(f)$.

• Найдем $f(g(x))$:

  Подставим $g(x)$ в функцию $f(x)$:

  $f(g(x)) = f(\sqrt[n]{x}) = (\sqrt[n]{x})^n$

  По определению степени с рациональным показателем (или по определению корня), для любого $x$ из области определения корня $(\sqrt[n]{x})^n = x$. Так как $x \in [0; +\infty)$, это равенство верно.

  Следовательно, $f(g(x)) = x$ для всех $x \in D(g)$.

Второе условие также выполняется.

Альтернативное объяснение (построение обратной функции):

Обратную функцию можно найти, выразив переменную $x$ из уравнения $y = f(x)$ и затем поменяв местами $x$ и $y$.

1. Возьмем исходную функцию: $y = x^n$, где $x \in [0; +\infty)$ и $y \in [0; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$. Для этого извлечем корень n-й степени из обеих частей уравнения: $\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n}$.
3. Так как мы работаем на промежутке $x \ge 0$, то $\sqrt[n]{x^n} = x$. Получаем: $x = \sqrt[n]{y}$.
4. Теперь, согласно стандартной процедуре нахождения обратной функции, меняем местами переменные $x$ и $y$: $y = \sqrt[n]{x}$.

Мы получили в точности вторую функцию, данную в условии.

Ответ: Функция $y = \sqrt[n]{x}$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ является обратной к функции $y = x^n$ на том же промежутке, потому что области определения и значений этих функций взаимно соответствуют друг другу ($D(f)=E(g)$ и $E(f)=D(g)$), и их композиции в обоих порядках дают тождественную функцию ($(\sqrt[n]{x})^n = x$ и $\sqrt[n]{x^n} = x$ при $x \ge 0$).

2. Как связаны между собой графики функций $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$? Проиллюстрируйте свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.

Функции $y = x^n$ и $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \in [0; +\infty)$ являются взаимно обратными. Две функции $f(x)$ и $g(x)$ называются взаимно обратными, если для всех $x$ из соответствующей области определения выполняются равенства $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

Проверим это для наших функций. Пусть $f(x) = x^n$ и $g(x) = \sqrt[n]{x}$.
1. $f(g(x)) = (\sqrt[n]{x})^n = x$
2. $g(f(x)) = \sqrt[n]{x^n} = x$ (поскольку $x \ge 0$)

Поскольку функции являются взаимно обратными, их графики симметричны друг другу относительно прямой $y=x$ (биссектрисы первого координатного угла). Это означает, что если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = x^n$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику функции $y = \sqrt[n]{x}$.

Проиллюстрируем свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.

В данном случае $n=2$. Функции $y=x^2$ (при $x \ge 0$) и $y=\sqrt{x}$ являются взаимно обратными.

Построим их графики.
График функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в начале координат. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$, с вершиной также в начале координат. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

Сравнивая координаты точек, мы видим подтверждение симметрии. Например, точка $(2, 4)$ лежит на графике $y=x^2$, а "перевернутая" точка $(4, 2)$ лежит на графике $y=\sqrt{x}$. Точка $(3, 9)$ лежит на графике $y=x^2$, а точка $(9, 3)$ — на графике $y=\sqrt{x}$.

Оба графика проходят через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, которые лежат на прямой $y=x$ и являются общими для обоих графиков.
На интервале $(0, 1)$ график $y=x^2$ расположен ниже прямой $y=x$, а график $y=\sqrt{x}$ — выше.
На интервале $(1, +\infty)$ ситуация обратная: график $y=x^2$ лежит выше прямой $y=x$, а график $y=\sqrt{x}$ — ниже.
Эта симметрия относительно прямой $y=x$ и есть ключевая связь между графиками данных функций.

Ответ: Графики функций $y = x^n$ и $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \in [0; +\infty)$ являются симметричными друг другу относительно прямой $y=x$. Это обусловлено тем, что данные функции на указанном промежутке являются взаимно обратными.

3. Если $n$ — чётное натуральное число, то что вы можете сказать о чётности или нечётности функции $y = \sqrt[n]{x}$?

Для того чтобы определить, является ли функция чётной, нечётной или ни той, ни другой, необходимо в первую очередь рассмотреть её область определения, а затем проверить выполнение соответствующих равенств.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Важным условием для чётности или нечётности является симметричность области определения $D(f)$ относительно точки $x=0$. Это означает, что если точка $x$ принадлежит $D(f)$, то и точка $-x$ также должна принадлежать $D(f)$.

Рассмотрим заданную функцию $y = \sqrt[n]{x}$, где по условию $n$ — чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$).

Найдём область определения этой функции. Арифметический корень чётной степени в области действительных чисел определён только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, для функции $y = \sqrt[n]{x}$ с чётным $n$ должно выполняться условие $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $D(y) = [0, +\infty)$.

Проверим эту область определения на симметричность. Она не является симметричной относительно точки $x=0$. Например, значение $x=1$ принадлежит области определения, но противоположное ему значение $x=-1$ не принадлежит ей.

Поскольку основное требование для исследования на чётность/нечётность — симметричность области определения — не выполняется, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Такие функции называют функциями общего вида.

Ответ: Если $n$ — чётное натуральное число, то функция $y = \sqrt[n]{x}$ не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения $D(y) = [0, +\infty)$ несимметрична относительно начала координат.

4. Если $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, то что вы можете сказать о чётности или нечётности функции $y = \sqrt[n]{x}$?

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x) = \sqrt[n]{x}$, где $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, необходимо проанализировать её область определения и проверить, выполняется ли одно из условий: $f(-x) = f(x)$ (чётность) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётность).

1. Область определения.

Функция $y = \sqrt[n]{x}$ с нечётным показателем корня $n$ определена для всех действительных чисел, так как корень нечётной степени можно извлечь из любого числа, как положительного, так и отрицательного. Например, $\sqrt[3]{27} = 3$ и $\sqrt[3]{-27} = -3$.

Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат, так как если число $x$ принадлежит области определения, то и число $-x$ также ей принадлежит. Первое условие для определения чётности/нечётности выполнено.

2. Проверка на чётность/нечётность.

Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x}$

Поскольку $n$ — нечётное число, для корня нечётной степени справедливо свойство: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для любого действительного числа $a$.

Применяя это свойство к нашей функции, получаем:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$

Теперь сравним полученный результат с $-f(x)$:

$-f(x) = -\sqrt[n]{x}$

Мы видим, что выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку область определения функции симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция $y = \sqrt[n]{x}$, где $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, является нечётной.