Страница 248, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет (a, b, c — неотрицательные числа):

а) $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$;

б) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$;

в) $\sqrt[n]{a+b} = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$;

г) $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a+b-c}$;

д) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ $(b \neq 0)$;

е) $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{c}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{ac}{b}}$ $(b \neq 0)$;

ж) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ab-c}$?

а) Это одно из основных свойств корня n-ой степени: корень из произведения равен произведению корней из множителей. Равенство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ является верным для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$. Это следует из определения корня и свойств степени: $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n = (\sqrt[n]{a})^n \cdot (\sqrt[n]{b})^n = a \cdot b$. Так как $a, b$ неотрицательны, то и $\sqrt[n]{a}$, $\sqrt[n]{b}$ неотрицательны, а значит их произведение тоже. Ответ: верно.

б) Это соотношение является расширением свойства из пункта (а) на три множителя. Действительно, $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = (\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}) \cdot \sqrt[n]{c}$. Применив свойство (а) к выражению в скобках, получим $\sqrt[n]{ab} \cdot \sqrt[n]{c}$. Повторно применив то же свойство, получим $\sqrt[n]{(ab)c} = \sqrt[n]{abc}$. Ответ: верно.

в) Корень из суммы в общем случае не равен сумме корней. Чтобы доказать, что соотношение неверно, достаточно привести один контрпример. Пусть $n=2$ (квадратный корень), $a=9$, $b=16$. Тогда левая часть равенства будет $\sqrt[2]{a+b} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. Правая часть: $\sqrt[2]{a} + \sqrt[2]{b} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4=7$. Поскольку $5 \ne 7$, соотношение неверно. Ответ: нет.

г) Это соотношение также неверно, так как корень из алгебраической суммы не равен алгебраической сумме корней. Приведем контрпример. Пусть $n=2$, $a=16$, $b=9$, $c=4$. Левая часть: $\sqrt[2]{a} + \sqrt[2]{b} - \sqrt[2]{c} = \sqrt{16} + \sqrt{9} - \sqrt{4} = 4+3-2=5$. Правая часть: $\sqrt[2]{a+b-c} = \sqrt{16+9-4} = \sqrt{21}$. Поскольку $5 \ne \sqrt{21}$, соотношение неверно. Ответ: нет.

д) Это еще одно основное свойство корня n-ой степени: корень из частного (дроби) равен частному корней числителя и знаменателя. Равенство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ является верным для любого неотрицательного $a$ и положительного $b$ ($b \ne 0$). Это также следует из свойств степени: $(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{a}{b}$. Ответ: верно.

е) Это соотношение является комбинацией свойств из пунктов (а) и (д). Преобразуем левую часть: $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{c}}{\sqrt[n]{b}}$. По свойству произведения корней (пункт а) в числителе получим $\frac{\sqrt[n]{ac}}{\sqrt[n]{b}}$. Далее, по свойству частного корней (пункт д), получим $\sqrt[n]{\frac{ac}{b}}$. Левая часть равна правой. Ответ: верно.

ж) Данное соотношение неверно. Оно неверно смешивает свойство произведения корней с операцией вычитания. Приведем контрпример. Пусть $n=2$, $a=25$, $b=4$, $c=36$. Левая часть: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{4} - \sqrt{36} = 5 \cdot 2 - 6 = 10-6=4$. Правая часть: $\sqrt[n]{ab-c} = \sqrt{25 \cdot 4 - 36} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$. Поскольку $4 \ne 8$, соотношение неверно. Ответ: нет.

2. Всегда ли верно равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$? Если не всегда, то приведите пример, когда оно верно, и пример, когда оно неверно.

Равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$ верно не всегда. Правильность этого равенства зависит от знака числа $a$.

Общее правило для извлечения корня четной степени из числа, возведенного в ту же степень, выглядит так: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, где $|x|$ — модуль числа $x$. Это связано с тем, что результат извлечения арифметического корня четной степени из любого неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом.

В нашем случае, показатель корня $4$ — четное число. Поэтому $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$ будет верным только в том случае, когда $|a| = a$. Это условие выполняется для всех неотрицательных чисел, то есть при $a \ge 0$. Если же $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то $|a| = -a$, и равенство будет неверным, так как мы получим $-a = a$, что возможно только при $a=0$.

Пример, когда равенство верно

Возьмем любое неотрицательное число, например, $a = 3$. Подставим это значение в исходное равенство:

$\sqrt[4]{3^4} = \sqrt[4]{81} = 3$

В результате получаем $3 = 3$, что является верным равенством.

Ответ: при $a = 3$ (и любом $a \ge 0$) равенство верно.

Пример, когда равенство неверно

Возьмем любое отрицательное число, например, $a = -3$. Подставим это значение в левую часть равенства:

$\sqrt[4]{(-3)^4} = \sqrt[4]{81} = 3$

Теперь сравним полученный результат с правой частью равенства, которая равна $a = -3$.

Получаем $3 \ne -3$. Равенство не выполняется.

Ответ: при $a = -3$ (и любом $a < 0$) равенство неверно.

3. Всегда ли верно равенство $\sqrt[5]{a^5} = a$? Если не всегда, то приведите пример, когда оно верно, и пример, когда оно неверно.

Данное равенство $\sqrt[5]{a^5} = a$ верно всегда для любого действительного числа $a$.

Это следует из определения корня нечетной степени. В общем виде свойство выглядит так:

• $\sqrt[n]{x^n} = x$, если $n$ — нечетное число.
• $\sqrt[n]{x^n} = |x|$, если $n$ — четное число.

В заданном выражении показатель корня $n = 5$ является нечетным числом, поэтому равенство выполняется для всех значений $a$, как положительных, так и отрицательных, а также для нуля.

Пример, когда оно верно:

Поскольку равенство верно всегда, можно выбрать любое число $a$.

1. Пусть $a = 2$. Тогда левая часть: $\sqrt[5]{2^5} = \sqrt[5]{32} = 2$. Правая часть: $a = 2$. Получаем $2 = 2$. Равенство верно.
2. Пусть $a = -3$. Тогда левая часть: $\sqrt[5]{(-3)^5} = \sqrt[5]{-243} = -3$. Правая часть: $a = -3$. Получаем $-3 = -3$. Равенство верно.

Ответ: Равенство верно, например, при $a = 2$ и $a = -3$.

Пример, когда оно неверно:

Так как равенство $\sqrt[5]{a^5} = a$ выполняется для всех действительных чисел $a$ без исключения, то найти такое значение $a$, при котором оно было бы неверно, невозможно.

Ответ: Примера, когда равенство неверно, не существует.