Номер 3, страница 248, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §35 - номер 3, страница 248.

Условие.

3. Всегда ли верно равенство $\sqrt[5]{a^5} = a$? Если не всегда, то приведите пример, когда оно верно, и пример, когда оно неверно.

Решение 6.

Данное равенство $\sqrt[5]{a^5} = a$ верно всегда для любого действительного числа $a$.

Это следует из определения корня нечетной степени. В общем виде свойство выглядит так:

• $\sqrt[n]{x^n} = x$, если $n$ — нечетное число.
• $\sqrt[n]{x^n} = |x|$, если $n$ — четное число.

В заданном выражении показатель корня $n = 5$ является нечетным числом, поэтому равенство выполняется для всех значений $a$, как положительных, так и отрицательных, а также для нуля.

Пример, когда оно верно:

Поскольку равенство верно всегда, можно выбрать любое число $a$.

1. Пусть $a = 2$. Тогда левая часть: $\sqrt[5]{2^5} = \sqrt[5]{32} = 2$. Правая часть: $a = 2$. Получаем $2 = 2$. Равенство верно.
2. Пусть $a = -3$. Тогда левая часть: $\sqrt[5]{(-3)^5} = \sqrt[5]{-243} = -3$. Правая часть: $a = -3$. Получаем $-3 = -3$. Равенство верно.

Ответ: Равенство верно, например, при $a = 2$ и $a = -3$.

Пример, когда оно неверно:

Так как равенство $\sqrt[5]{a^5} = a$ выполняется для всех действительных чисел $a$ без исключения, то найти такое значение $a$, при котором оно было бы неверно, невозможно.

Ответ: Примера, когда равенство неверно, не существует.