Номер 1, страница 258, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §37. ч. 1 - номер 1, страница 258.

1. Что такое $a^{\frac{p}{q}}$, где $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $a \ge 0$?

1. Выражение $a^{\frac{p}{q}}$ — это степень с рациональным (дробным) показателем. По определению, для любого неотрицательного числа $a \ge 0$ и любых натуральных чисел $p$ и $q$ (где $q \ge 2$), степенью числа $a$ с показателем $\frac{p}{q}$ называется корень $q$-й степени из $a$ в степени $p$.

Это определение можно записать в виде формулы:

$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

В этой записи знаменатель дроби $q$ становится показателем корня, а числитель $p$ — показателем степени подкоренного выражения.

Существует также равносильная форма записи, которая часто более удобна для вычислений. Сначала можно извлечь корень, а затем возвести в степень:

$a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$

Ограничение $a \ge 0$ важно, потому что корень четной степени из отрицательного числа не определен в области действительных чисел. Если показатель степени — это дробь с нечетным знаменателем, то основание $a$ может быть и отрицательным, но в общем случае принято определение для $a \ge 0$.

Если числитель $p$ является отрицательным целым числом (например, показатель $-\frac{p}{q}$), то для $a > 0$ справедливо свойство:

$a^{-\frac{p}{q}} = \frac{1}{a^{\frac{p}{q}}} = \frac{1}{\sqrt[q]{a^p}}$

Пример: Вычислим $8^{\frac{2}{3}}$.

По формуле $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$ имеем:

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

По формуле $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$ имеем:

$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: Степенью числа $a \ge 0$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ (где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, $q \ge 2$) называется число, равное корню $q$-й степени из числа $a$ в степени $p$. То есть, $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.