Номер 8, страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §35. ч. 1 - номер 8, страница 249.

8. Дано соотношение $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения, чтобы оно было верным равенством?

Пример, когда соотношение является верным равенством

Данное соотношение $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$ является верным, когда переменная $a$ принимает неотрицательные значения, то есть $a \ge 0$.

В качестве примера возьмем $a = 8$.

Подставим это значение в левую часть равенства:

$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Теперь подставим это значение в правую часть равенства:

$\sqrt[3]{8} = 2$.

Поскольку левая и правая части равны ($2 = 2$), при $a=8$ соотношение является верным равенством.

Ответ: Примером может служить $a = 8$.

Пример, когда соотношение не является верным равенством

Данное соотношение не является верным, когда переменная $a$ принимает отрицательные значения, то есть $a < 0$.

В качестве примера возьмем $a = -8$.

Подставим это значение в левую часть:

$\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.

По определению, корень четной степени (в данном случае 6-й) из неотрицательного числа ($(-8)^2 = 64$) есть число неотрицательное.

Теперь подставим это значение в правую часть:

$\sqrt[3]{-8} = -2$.

Корень нечетной степени (в данном случае 3-й) из отрицательного числа есть число отрицательное.

Поскольку левая и правая части не равны ($2 \neq -2$), при $a=-8$ соотношение не является верным равенством.

Ответ: Примером может служить $a = -8$.

Как должна выглядеть правая часть соотношения, чтобы оно было верным равенством

Проанализируем левую часть соотношения $\sqrt[6]{a^2}$. Ее можно преобразовать, используя свойство корней $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{|b|^m}$ для четного $k$. В нашем случае $n=3, m=1, k=2$:

$\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[3]{|a|}$.

Это преобразование показывает, что левая часть тождественно равна $\sqrt[3]{|a|}$ для любого действительного числа $a$.

Исходное равенство $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$ эквивалентно равенству $\sqrt[3]{|a|} = \sqrt[3]{a}$. Это верно только в том случае, если $|a| = a$, что выполняется для всех $a \ge 0$.

Чтобы исходное соотношение было верным для всех действительных чисел $a$, его правая часть должна быть тождественно равна его левой части. Следовательно, правую часть $\sqrt[3]{a}$ необходимо заменить на $\sqrt[3]{|a|}$.

Ответ: Правая часть соотношения должна иметь вид $\sqrt[3]{|a|}$.