Номер 2, страница 322, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 7. ч. 1 - номер 2, страница 322.

2. Замечательное число $e$.

Число e, также известное как число Эйлера или неперово число, является одной из фундаментальных математических констант, наряду с $\pi$ и мнимой единицей $i$. Это иррациональное и трансцендентное число, имеющее бесконечную непериодическую десятичную часть. Его приблизительное значение равно $2.71828$.

Определение числа e

Число $e$ может быть определено несколькими эквивалентными способами.

1. Через предел последовательности. Это определение известно как второй замечательный предел и часто используется в математическом анализе. Число $e$ определяется как предел, к которому стремится значение выражения $(1 + 1/n)^n$ при бесконечном возрастании $n$.
$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

2. Через сумму бесконечного ряда. Число $e$ можно представить как сумму обратных факториалов. Это представление следует из разложения функции $e^x$ в ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора) при $x=1$.
$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$

3. Через интеграл. Число $e$ — это единственное положительное число, для которого площадь под кривой $y = 1/x$ от $x=1$ до $x=e$ равна в точности 1.
$\int_1^e \frac{1}{x} \,dx = 1$
Это определение тесно связано с понятием натурального логарифма.

Ответ: Число $e$ — это математическая константа, приблизительно равная $2.71828$. Его можно определить как предел $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$ или как сумму бесконечного ряда $\sum_{n=0}^{\infty} 1/n!$.

Свойства числа e

Число $e$ обладает рядом уникальных и важных свойств.

• Иррациональность и трансцендентность. Число $e$ является иррациональным, то есть его нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Более того, оно трансцендентно, что означает, что оно не является корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами.
• Основание натурального логарифма. Число $e$ является основанием натурального логарифма ($\ln x = \log_e x$). Натуральный логарифм — это функция, обратная к экспоненциальной функции $y=e^x$.
• Основное свойство в исчислении. Экспоненциальная функция $f(x) = e^x$ обладает уникальным свойством: её производная равна самой функции.
  $\frac{d}{dx} e^x = e^x$
  Это делает число $e$ "естественным" выбором для основания экспоненциальной функции при решении дифференциальных уравнений, описывающих процессы роста и распада.

Ответ: Ключевые свойства числа $e$ — это его иррациональность и трансцендентность, то, что оно является основанием натурального логарифма, а также то, что производная функции $e^x$ равна самой себе.

Значение и применение

"Замечательным" число $e$ называют из-за его повсеместного появления в различных областях науки и техники.

Сложный процент: Исторически число $e$ возникло из задачи о непрерывном начислении процентов. Если положить 1 денежную единицу в банк под 100% годовых, то при начислении процентов один раз в год сумма составит $1+1=2$. Если два раза в год, то $(1+1/2)^2 = 2.25$. Если $n$ раз в год, то $(1+1/n)^n$. При непрерывном начислении ($n \to \infty$) итоговая сумма в точности равна $e$. Общая формула для непрерывного сложного процента: $A = P \cdot e^{rt}$, где $P$ — начальный вклад, $r$ — годовая ставка, $t$ — время в годах.

Формула Эйлера: Эта формула устанавливает глубокую связь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями в комплексной плоскости:
$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$
Частный случай этой формулы при $x = \pi$ приводит к знаменитому тождеству Эйлера:
$e^{i\pi} + 1 = 0$
Это тождество связывает пять важнейших математических констант: $e$, $\pi$, $i$, $1$ и $0$.

Теория вероятностей и статистика: Число $e$ является неотъемлемой частью многих вероятностных распределений. Например, оно входит в формулу нормального распределения (кривая Гаусса), которое описывает множество случайных явлений, и в распределение Пуассона, моделирующее количество событий за определённый промежуток времени.

Физика и инженерия: Число $e$ появляется в уравнениях, описывающих экспоненциальный рост (рост популяций) и экспоненциальный распад (радиоактивный распад, затухание колебаний). Форма провисшей цепи или кабеля (цепная линия) описывается через гиперболический косинус, который выражается через $e^x$ и $e^{-x}$.

Ответ: Число $e$ имеет огромное значение в математике, финансах (непрерывный сложный процент), физике (законы распада и роста) и теории вероятностей. Формула Эйлера $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ связывает его с тригонометрией и комплексными числами, демонстрируя его фундаментальную природу.