Номер 1, страница 329, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §48. ч. 1 - номер 1, страница 329.

1. Что называют первообразной для функции $y = f(x)$?

1. Первообразной для функции $y = f(x)$ на некотором заданном промежутке (например, на интервале $(a, b)$) называют такую функцию $F(x)$, которая определена на этом промежутке и производная которой в каждой точке этого промежутка равна $f(x)$.

Математически это определение можно записать следующим образом: функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, если для любого $x \in I$ выполняется равенство:

$F'(x) = f(x)$

Проще говоря, нахождение первообразной (или интегрирование) — это операция, обратная операции нахождения производной (дифференцированию).

Ключевым свойством является то, что если функция $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$ на промежутке $I$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также будет первообразной для $f(x)$ на том же промежутке. Это справедливо, так как производная от постоянной величины равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.

Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается как $\int f(x) \,dx$. Таким образом, $\int f(x) \,dx = F(x) + C$.

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = 3x^2$.

Нам необходимо найти такую функцию $F(x)$, производная которой будет равна $3x^2$. Из таблицы производных известно, что $(x^3)' = 3x^2$.

Следовательно, функция $F(x) = x^3$ является первообразной для $f(x) = 3x^2$.

При этом и $F(x) = x^3 + 10$, и $F(x) = x^3 - 5$ также будут первообразными, поскольку производная константы равна нулю. Общий вид всех первообразных для функции $f(x) = 3x^2$ записывается как $x^3 + C$.

Ответ: Первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке называется функция $F(x)$, производная которой $F'(x)$ на этом промежутке равна $f(x)$.