Страница 329, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют первообразной для функции $y = f(x)$?

1. Первообразной для функции $y = f(x)$ на некотором заданном промежутке (например, на интервале $(a, b)$) называют такую функцию $F(x)$, которая определена на этом промежутке и производная которой в каждой точке этого промежутка равна $f(x)$.

Математически это определение можно записать следующим образом: функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, если для любого $x \in I$ выполняется равенство:

$F'(x) = f(x)$

Проще говоря, нахождение первообразной (или интегрирование) — это операция, обратная операции нахождения производной (дифференцированию).

Ключевым свойством является то, что если функция $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$ на промежутке $I$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также будет первообразной для $f(x)$ на том же промежутке. Это справедливо, так как производная от постоянной величины равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.

Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается как $\int f(x) \,dx$. Таким образом, $\int f(x) \,dx = F(x) + C$.

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = 3x^2$.

Нам необходимо найти такую функцию $F(x)$, производная которой будет равна $3x^2$. Из таблицы производных известно, что $(x^3)' = 3x^2$.

Следовательно, функция $F(x) = x^3$ является первообразной для $f(x) = 3x^2$.

При этом и $F(x) = x^3 + 10$, и $F(x) = x^3 - 5$ также будут первообразными, поскольку производная константы равна нулю. Общий вид всех первообразных для функции $f(x) = 3x^2$ записывается как $x^3 + C$.

Ответ: Первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке называется функция $F(x)$, производная которой $F'(x)$ на этом промежутке равна $f(x)$.

2. Укажите по две первообразные для каждой из следующих функций:

а) $y = x^3$;

б) $y = \sqrt{x}$;

в) $y = \frac{1}{x}$;

г) $y = \sin x$;

д) $y = \cos x$;

е) $y = e^x$.

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Если $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$, то множество всех её первообразных задаётся формулой $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа). Чтобы найти две различные первообразные для заданной функции, достаточно найти одну первообразную $F(x)$ и затем выбрать два любых различных значения для константы $C$.

а) Для нахождения первообразной функции $y = x^3$ воспользуемся формулой для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае показатель степени $n=3$, поэтому общий вид первообразной: $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.

Чтобы указать две конкретные первообразные, выберем два разных значения для произвольной постоянной $C$. Например, при $C=0$ получим первую первообразную $F_1(x) = \frac{x^4}{4}$, а при $C=5$ — вторую: $F_2(x) = \frac{x^4}{4} + 5$.

Ответ: $\frac{x^4}{4}$ и $\frac{x^4}{4} + 5$.

б) Представим функцию $y = \sqrt{x}$ в виде степенной функции $y = x^{1/2}$. Применяем ту же формулу с показателем степени $n = 1/2$. Общий вид первообразной: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

Выберем два значения для константы $C$, например, $C=0$ и $C=-1$. Получим две первообразные: $F_1(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}$ и $F_2(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} - 1$.

Ответ: $\frac{2}{3}x^{3/2}$ и $\frac{2}{3}x^{3/2} - 1$.

в) Первообразная для функции $y = \frac{1}{x}$ является табличной и равна натуральному логарифму. Общий вид первообразной: $F(x) = \ln|x| + C$. Использование модуля $|x|$ необходимо, так как область определения исходной функции ($x \neq 0$) шире, чем область определения функции $\ln(x)$ ($x > 0$).

Выберем два значения для $C$, например, $C=0$ и $C=10$. Получим две первообразные: $F_1(x) = \ln|x|$ и $F_2(x) = \ln|x| + 10$.

Ответ: $\ln|x|$ и $\ln|x| + 10$.

г) Для нахождения первообразной функции $y = \sin x$ нужно найти функцию, производная которой равна $\sin x$. Известно, что $(\cos x)' = -\sin x$. Следовательно, $(-\cos x)' = \sin x$.

Общий вид первообразной: $F(x) = -\cos x + C$. Выберем два значения для $C$, например, $C=0$ и $C=2$. Получим две первообразные: $F_1(x) = -\cos x$ и $F_2(x) = -\cos x + 2$.

Ответ: $-\cos x$ и $-\cos x + 2$.

д) Для нахождения первообразной функции $y = \cos x$ нужно найти функцию, производная которой равна $\cos x$. Известно, что $(\sin x)' = \cos x$.

Общий вид первообразной: $F(x) = \sin x + C$. Выберем два значения для $C$, например, $C=0$ и $C=-7$. Получим две первообразные: $F_1(x) = \sin x$ и $F_2(x) = \sin x - 7$.

Ответ: $\sin x$ и $\sin x - 7$.

е) Экспоненциальная функция $y = e^x$ обладает уникальным свойством: её производная равна самой функции, $(e^x)' = e^x$. Это означает, что она является первообразной для самой себя.

Общий вид первообразной: $F(x) = e^x + C$. Выберем два значения для $C$, например, $C=0$ и $C=1$. Получим две первообразные: $F_1(x) = e^x$ и $F_2(x) = e^x + 1$.

Ответ: $e^x$ и $e^x + 1$.

3. Какие из приведённых ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны, а какие — нет:

а) первообразная суммы равна сумме первообразных;

б) первообразная произведения равна произведению первообразных;

в) первообразная разности равна разности первообразных;

г) первообразная частного равна частному первообразных?

а) первообразная суммы равна сумме первообразных

Это утверждение верно. Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, и пусть $F(x)$ и $G(x)$ являются их первообразными соответственно. Это означает, что по определению первообразной $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$. Мы хотим проверить, является ли сумма первообразных $F(x) + G(x)$ первообразной для суммы функций $f(x) + g(x)$. Для этого найдем производную от суммы первообразных $F(x) + G(x)$. Используя свойство линейности производной (производная суммы равна сумме производных), получаем: $(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x)$. Подставляя известные нам равенства $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, получаем: $(F(x) + G(x))' = f(x) + g(x)$. Так как производная от $F(x) + G(x)$ равна $f(x) + g(x)$, то по определению функция $F(x) + G(x)$ является первообразной для функции $f(x) + g(x)$. Это одно из основных правил интегрирования.
Ответ: верно.

б) первообразная произведения равна произведению первообразных

Это утверждение неверно. Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно, то есть $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$. Проверим, будет ли произведение первообразных $F(x) \cdot G(x)$ первообразной для произведения функций $f(x) \cdot g(x)$. Для этого найдем производную от $F(x) \cdot G(x)$ по правилу дифференцирования произведения (правилу Лейбница): $(F(x) \cdot G(x))' = F'(x)G(x) + F(x)G'(x)$. Подставив $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, получим: $(F(x) \cdot G(x))' = f(x)G(x) + F(x)g(x)$. Полученное выражение $f(x)G(x) + F(x)g(x)$ в общем случае не равно $f(x)g(x)$. Приведем контрпример. Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = 1$. Тогда произведение функций $f(x) \cdot g(x) = 1 \cdot 1 = 1$. Первообразная для этой функции равна $x$ (если взять константу интегрирования равной 0). Теперь найдем первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ по отдельности. Первообразная для $f(x) = 1$ есть $F(x) = x$. Первообразная для $g(x) = 1$ есть $G(x) = x$. Произведение первообразных: $F(x) \cdot G(x) = x \cdot x = x^2$. Сравнивая результаты, видим, что первообразная произведения ($x$) не равна произведению первообразных ($x^2$). Следовательно, утверждение неверно. Для нахождения первообразной произведения используется более сложный метод — интегрирование по частям.
Ответ: нет.

в) первообразная разности равна разности первообразных

Это утверждение верно. Доказательство аналогично пункту а). Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$, что значит $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$. Проверим, является ли разность первообразных $F(x) - G(x)$ первообразной для разности функций $f(x) - g(x)$. Найдем производную от $F(x) - G(x)$, используя свойство линейности производной (производная разности равна разности производных): $(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x)$. Подставляя $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, получаем: $(F(x) - G(x))' = f(x) - g(x)$. Поскольку производная от $F(x) - G(x)$ равна $f(x) - g(x)$, то $F(x) - G(x)$ является первообразной для $f(x) - g(x)$.
Ответ: верно.

г) первообразная частного равна частному первообразных

Это утверждение неверно. Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно ($F'(x) = f(x)$, $G'(x) = g(x)$). Проверим, будет ли частное первообразных $\frac{F(x)}{G(x)}$ первообразной для частного функций $\frac{f(x)}{g(x)}$. Найдем производную от $\frac{F(x)}{G(x)}$ по правилу дифференцирования частного: $\left(\frac{F(x)}{G(x)}\right)' = \frac{F'(x)G(x) - F(x)G'(x)}{(G(x))^2}$. Подставив $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, получим: $\left(\frac{F(x)}{G(x)}\right)' = \frac{f(x)G(x) - F(x)g(x)}{(G(x))^2}$. Это выражение в общем случае не равно $\frac{f(x)}{g(x)}$. Приведем тот же контрпример, что и в пункте б). Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = 1$. Частное функций: $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{1} = 1$. Первообразная для $1$ есть $x$. Первообразные для $f(x)=1$ и $g(x)=1$ есть $F(x)=x$ и $G(x)=x$ соответственно. Частное первообразных: $\frac{F(x)}{G(x)} = \frac{x}{x} = 1$ (при $x \neq 0$). Сравнивая результаты, видим, что первообразная частного ($x$) не равна частному первообразных ($1$). Утверждение неверно. В общем виде простого правила для нахождения первообразной частного не существует.
Ответ: нет.