Страница 330, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4. Какое из приведённых ниже утверждений верно, а какое — нет:

а) если $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, то $y = kF(kx + b)$ — первообразная для $y = f(kx + b)$;

б) если $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, то $y = \frac{1}{k}F(kx + b)$ — первообразная для $y = f(kx + b)$?

Чтобы определить, какое из утверждений верно, а какое нет, необходимо проверить каждое из них, используя определение первообразной. Если функция $G(x)$ является первообразной для функции $g(x)$, то должно выполняться равенство $G'(x) = g(x)$.

По условию задачи, $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, следовательно, $F'(x) = f(x)$.

Проверим утверждение: если $y = F(x)$ — первообразная для $y = f(x)$, то $y = kF(kx + b)$ — первообразная для $y = f(kx + b)$.

Для этого нужно найти производную от предполагаемой первообразной $G(x) = kF(kx + b)$ и сравнить её с функцией $f(kx + b)$.

Найдём производную $G'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), согласно которому $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, и правило вынесения константы за знак производной.

$G'(x) = (kF(kx + b))' = k \cdot (F(kx + b))'$

Здесь внешняя функция — это $F(u)$, а внутренняя — $u(x) = kx + b$. Производная внутренней функции равна $(kx + b)' = k$.

Следовательно:

$G'(x) = k \cdot F'(kx + b) \cdot (kx + b)' = k \cdot F'(kx + b) \cdot k = k^2 F'(kx + b)$.

Поскольку по условию $F'(x) = f(x)$, мы можем заменить $F'(kx + b)$ на $f(kx + b)$:

$G'(x) = k^2 f(kx + b)$.

Полученное выражение $k^2 f(kx + b)$ в общем случае не равно $f(kx + b)$. Равенство выполняется только при $k^2=1$, то есть при $k=1$ или $k=-1$. Так как это верно не для всех $k$, утверждение в целом является неверным.

Ответ: утверждение неверно.

Проверим утверждение: если $y = F(x)$ — первообразная для $y = f(x)$, то $y = \frac{1}{k}F(kx + b)$ — первообразная для $y = f(kx + b)$. (Предполагается, что $k \neq 0$).

Найдём производную от предполагаемой первообразной $H(x) = \frac{1}{k}F(kx + b)$ и сравним её с функцией $f(kx + b)$.

Используем те же правила дифференцирования, что и в пункте а):

$H'(x) = \left(\frac{1}{k}F(kx + b)\right)' = \frac{1}{k} \cdot (F(kx + b))'$

Производная от $F(kx + b)$ равна $F'(kx + b) \cdot (kx + b)' = F'(kx + b) \cdot k$.

Подставим это в выражение для $H'(x)$:

$H'(x) = \frac{1}{k} \cdot (F'(kx + b) \cdot k)$.

Сократим множитель $k$:

$H'(x) = F'(kx + b)$.

Используя условие $F'(x) = f(x)$, заменяем $F'(kx + b)$ на $f(kx + b)$:

$H'(x) = f(kx + b)$.

Производная функции $H(x) = \frac{1}{k}F(kx + b)$ в точности равна $f(kx + b)$. Следовательно, это утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

5. Напишите общий вид всех первообразных для функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $X$, если известно, что $F(x)$ — одна из первообразных.

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $y=f(x)$ на заданном промежутке $X$, если для любого $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

В условии задачи дано, что $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$.

Предположим, что существует другая первообразная для $f(x)$, назовём её $G(x)$. По определению, для неё также должно выполняться равенство $G'(x) = f(x)$ для всех $x \in X$.

Рассмотрим разность этих двух первообразных: $H(x) = G(x) - F(x)$.

Найдём производную этой разности, используя свойство производной разности функций:

$H'(x) = (G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x)$

Поскольку $G'(x) = f(x)$ и $F'(x) = f(x)$, мы можем подставить эти значения в полученное выражение:

$H'(x) = f(x) - f(x) = 0$

Мы получили, что производная функции $H(x)$ равна нулю на всём промежутке $X$. Согласно следствию из теоремы Лагранжа, если производная функции на некотором промежутке равна нулю, то эта функция является постоянной (константой) на этом промежутке. Следовательно, существует такое число $C$, что $H(x) = C$ для всех $x \in X$.

Вспоминая, что $H(x) = G(x) - F(x)$, получаем:

$G(x) - F(x) = C$

Отсюда следует, что любая первообразная $G(x)$ может быть выражена через известную первообразную $F(x)$ следующим образом:

$G(x) = F(x) + C$

Это означает, что всё множество первообразных для функции $f(x)$ отличается от одной конкретной первообразной $F(x)$ на произвольную постоянную $C$.

Таким образом, выражение $F(x) + C$ представляет собой общий вид всех первообразных для функции $y = f(x)$.

Ответ: Общий вид всех первообразных для функции $y=f(x)$ на промежутке $X$ имеет вид $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная.