Номер 2, страница 329, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §48. ч. 1 - номер 2, страница 329.

2. Укажите по две первообразные для каждой из следующих функций:

а) $y = x^3$;

б) $y = \sqrt{x}$;

в) $y = \frac{1}{x}$;

г) $y = \sin x$;

д) $y = \cos x$;

е) $y = e^x$.

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Если $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$, то множество всех её первообразных задаётся формулой $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа). Чтобы найти две различные первообразные для заданной функции, достаточно найти одну первообразную $F(x)$ и затем выбрать два любых различных значения для константы $C$.

а) Для нахождения первообразной функции $y = x^3$ воспользуемся формулой для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае показатель степени $n=3$, поэтому общий вид первообразной: $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.

Чтобы указать две конкретные первообразные, выберем два разных значения для произвольной постоянной $C$. Например, при $C=0$ получим первую первообразную $F_1(x) = \frac{x^4}{4}$, а при $C=5$ — вторую: $F_2(x) = \frac{x^4}{4} + 5$.

Ответ: $\frac{x^4}{4}$ и $\frac{x^4}{4} + 5$.

б) Представим функцию $y = \sqrt{x}$ в виде степенной функции $y = x^{1/2}$. Применяем ту же формулу с показателем степени $n = 1/2$. Общий вид первообразной: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

Выберем два значения для константы $C$, например, $C=0$ и $C=-1$. Получим две первообразные: $F_1(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}$ и $F_2(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} - 1$.

Ответ: $\frac{2}{3}x^{3/2}$ и $\frac{2}{3}x^{3/2} - 1$.

в) Первообразная для функции $y = \frac{1}{x}$ является табличной и равна натуральному логарифму. Общий вид первообразной: $F(x) = \ln|x| + C$. Использование модуля $|x|$ необходимо, так как область определения исходной функции ($x \neq 0$) шире, чем область определения функции $\ln(x)$ ($x > 0$).

Выберем два значения для $C$, например, $C=0$ и $C=10$. Получим две первообразные: $F_1(x) = \ln|x|$ и $F_2(x) = \ln|x| + 10$.

Ответ: $\ln|x|$ и $\ln|x| + 10$.

г) Для нахождения первообразной функции $y = \sin x$ нужно найти функцию, производная которой равна $\sin x$. Известно, что $(\cos x)' = -\sin x$. Следовательно, $(-\cos x)' = \sin x$.

Общий вид первообразной: $F(x) = -\cos x + C$. Выберем два значения для $C$, например, $C=0$ и $C=2$. Получим две первообразные: $F_1(x) = -\cos x$ и $F_2(x) = -\cos x + 2$.

Ответ: $-\cos x$ и $-\cos x + 2$.

д) Для нахождения первообразной функции $y = \cos x$ нужно найти функцию, производная которой равна $\cos x$. Известно, что $(\sin x)' = \cos x$.

Общий вид первообразной: $F(x) = \sin x + C$. Выберем два значения для $C$, например, $C=0$ и $C=-7$. Получим две первообразные: $F_1(x) = \sin x$ и $F_2(x) = \sin x - 7$.

Ответ: $\sin x$ и $\sin x - 7$.

е) Экспоненциальная функция $y = e^x$ обладает уникальным свойством: её производная равна самой функции, $(e^x)' = e^x$. Это означает, что она является первообразной для самой себя.

Общий вид первообразной: $F(x) = e^x + C$. Выберем два значения для $C$, например, $C=0$ и $C=1$. Получим две первообразные: $F_1(x) = e^x$ и $F_2(x) = e^x + 1$.

Ответ: $e^x$ и $e^x + 1$.