Номер 2, страница 341, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 8 - номер 2, страница 341.

Условие.

2. Применения интегралов в различных областях знаний: в астрономии, географии, геодезии, медицине и т. д.

Решение 6.

Интегральное исчисление является мощным математическим инструментом, который находит широкое применение в самых разных областях знаний. Основная идея интеграла — нахождение целого по его частям, или, говоря более формально, суммирование бесконечно малых величин. Это позволяет решать задачи, связанные с непрерывно изменяющимися величинами, что характерно для многих природных и социальных процессов.

Применение в астрономии

В астрономии интегралы используются для решения фундаментальных задач, связанных с движением, структурой и эволюцией небесных тел.

• Расчет массы небесных объектов. Плотность планет и звезд, как правило, не является постоянной и изменяется в зависимости от расстояния до центра. Чтобы найти общую массу $M$ такого объекта, необходимо проинтегрировать функцию плотности $ρ$ по всему объему $V$. Для сферически-симметричного объекта с радиусом $R$ и плотностью $ρ(r)$, зависящей от радиуса $r$, масса вычисляется как:
  $M = \int_V ρ dV = \int_0^R ρ(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
• Определение центра масс. Для системы тел или для одного тела сложной формы положение центра масс $r_{цм}$ вычисляется через интеграл:
  $r_{цм} = \frac{1}{M} \int r \cdot dm = \frac{1}{M} \int_V r \cdot ρ dV$
  Это критически важно для понимания динамики вращения планет, астероидов и галактик.
• Вычисление гравитационного потенциала и силы. Гравитационная сила, действующая на пробную массу со стороны протяженного тела, находится путем интегрирования (суммирования) сил от каждой бесконечно малой части этого тела.
• Расчет параметров орбит. Законы движения небесных тел описываются дифференциальными уравнениями. Чтобы найти траекторию движения (положение как функцию времени) по известной скорости или найти скорость по известному ускорению (которое определяется силами гравитации), необходимо выполнить операцию интегрирования. Например, зная ускорение $a(t)$, можно найти скорость $v(t)$ и положение $x(t)$:
  $v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(\tau) d\tau$
  $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(\tau) d\tau$

Ответ: В астрономии интегралы применяются для вычисления массы, центра масс, гравитационного поля и траекторий движения небесных тел путем суммирования их характеристик по объему или времени.

Применение в географии

География использует интегралы для количественного описания объектов и явлений на поверхности Земли.

• Вычисление площади регионов. С помощью определенных интегралов можно точно рассчитать площадь территорий со сложными, нелинейными границами (например, озер, островов, административных районов), представленных на карте. Если северная граница области задана функцией $y = f(x)$, а южная — $y = g(x)$ на отрезке $[a, b]$, то площадь $S$ равна:
  $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$
• Определение объема природных объектов. Интегралы позволяют вычислить объем воды в озере или объем холма. Для этого объект "нарезается" на тонкие горизонтальные слои, площади которых известны как функции высоты $S(h)$. Общий объем $V$ находится интегрированием площади сечения по высоте:
  $V = \int_0^{H} S(h) dh$, где $H$ — максимальная высота или глубина.
• Расчет длины рек и береговых линий. Длину извилистого участка реки или побережья, который можно описать кривой $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, находят с помощью интеграла для вычисления длины дуги:
  $L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$
• Оценка численности населения. Если известна функция плотности населения $ρ(x, y)$ для некоторого региона $R$, то общую численность населения $N$ можно найти с помощью двойного интеграла:
  $N = \iint_R ρ(x, y) dA$

Ответ: В географии интегралы используются для точного расчета площадей, объемов, длин географических объектов и для оценки демографических показателей на основе данных о их плотности.

Применение в геодезии

Геодезия — наука о точном измерении Земли. Учитывая, что Земля не является идеальной сферой, а имеет форму геоида (сложной фигуры), интегральное исчисление становится незаменимым.

• Вычисление площади поверхности. Расчет площади участка земной поверхности на эллипсоиде или геоиде требует использования поверхностных интегралов. Форма Земли усложняет эти расчеты по сравнению с простой сферой.
• Определение длины геодезических линий. Геодезическая линия — это кратчайший путь между двумя точками на искривленной поверхности. Ее длина вычисляется с помощью криволинейных интегралов, учитывающих метрику (способ измерения расстояний) на поверхности земного эллипсоида.
• Построение модели геоида. Форма геоида (эквипотенциальной поверхности гравитационного поля Земли) определяется на основе гравиметрических измерений. Высота геоида над референц-эллипсоидом в определенной точке вычисляется с помощью интеграла Стокса, который связывает гравитационные аномалии по всей Земле с формой геоида.

Ответ: В геодезии интегралы являются ключевым инструментом для вычисления точных площадей и расстояний на неидеальной поверхности Земли и для построения глобальной модели ее гравитационного поля и формы (геоида).

Применение в медицине

В медицине и фармакологии интегралы помогают количественно оценить динамические процессы в организме.

• Фармакокинетика. Одна из важнейших характеристик лекарственного препарата — "площадь под кривой" (Area Under the Curve, AUC). Она представляет собой интеграл от концентрации лекарства в плазме крови $C(t)$ по времени и характеризует общую экспозицию организма к препарату.
  $AUC = \int_0^\infty C(t) dt$
  AUC используется для сравнения биодоступности различных форм лекарств и определения правильной дозировки.
• Определение минутного объема кровообращения (сердечного выброса). С помощью метода разведения индикатора можно измерить скорость кровотока. В артерию вводится известное количество $A$ индикатора (например, красителя). Затем в течение времени измеряется его концентрация $C(t)$ в артериальной крови. Сердечный выброс $F$ (объем крови в минуту) рассчитывается по формуле:
  $F = \frac{A}{\int_0^T C(t) dt}$, где $T$ — время, за которое весь индикатор прошел через точку измерения.
• Медицинская визуализация. Методы, такие как компьютерная томография (КТ), основаны на интегральных преобразованиях. КТ-сканер измеряет ослабление рентгеновских лучей, проходящих через тело под разными углами. Каждое такое измерение является линейным интегралом (преобразованием Радона) от функции плотности тканей вдоль луча. Затем компьютер, решая сложную систему интегральных уравнений (используя алгоритмы обратного преобразования), восстанавливает двухмерное или трехмерное изображение внутренних органов.
• Моделирование роста опухолей. Если известна скорость роста опухоли $V'(t)$, то ее объем $V(t)$ в любой момент времени можно найти, проинтегрировав эту скорость.

Ответ: В медицине интегралы применяются для оценки воздействия лекарств на организм (AUC), измерения физиологических параметров, таких как сердечный выброс, и лежат в основе современных методов диагностики, например, компьютерной томографии.