Номер 4, страница 341, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 8. ч. 1 - номер 4, страница 341.

4. Применение интегралов при решении простейших дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции с её производными различных порядков. Решить дифференциальное уравнение означает найти все функции, которые ему удовлетворяют. Интегрирование, как операция, обратная дифференцированию, является основным инструментом для решения дифференциальных уравнений.

Простейшими дифференциальными уравнениями являются уравнения первого порядка, которые можно решить методом прямого интегрирования или методом разделения переменных.

Уравнения вида $y' = f(x)$

Это самый простой тип дифференциальных уравнений. Здесь производная искомой функции $y(x)$ равна известной функции $f(x)$. Чтобы найти $y(x)$, нужно просто проинтегрировать функцию $f(x)$.

Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = f(x)$

Это выражение можно рассматривать как равенство дифференциалов, умножив обе части на $dx$:

$dy = f(x)dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int dy = \int f(x)dx$

Интеграл от $dy$ равен $y$, а интеграл от $f(x)dx$ является первообразной для $f(x)$, которую обозначим как $F(x)$. Поскольку неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянной, мы добавляем константу интегрирования $C$:

$y = F(x) + C$

Это выражение называется общим решением дифференциального уравнения. Оно представляет собой семейство функций (интегральных кривых), каждая из которых соответствует определенному значению константы $C$. Чтобы найти частное решение, необходимо задать начальное условие, например, $y(x_0) = y_0$.

Пример: Найти общее решение уравнения $y' = 3x^2 + \sin(x)$.

Решение:

$y(x) = \int (3x^2 + \sin(x))dx = \int 3x^2dx + \int \sin(x)dx = 3 \frac{x^3}{3} - \cos(x) + C = x^3 - \cos(x) + C$

Ответ: Общее решение дифференциального уравнения вида $y' = f(x)$ находится путем прямого интегрирования правой части: $y(x) = \int f(x)dx + C$.

Уравнения с разделяющимися переменными

Это уравнения вида:

$y' = f(x)g(y)$

или в более общем виде:

$M(x)dx + N(y)dy = 0$

Основная идея метода — "разделить" переменные, то есть перегруппировать члены уравнения так, чтобы с одной стороны от знака равенства находились только выражения, зависящие от $x$ и $dx$, а с другой — только выражения, зависящие от $y$ и $dy$.

Рассмотрим уравнение $y' = f(x)g(y)$. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

Предполагая, что $g(y) \ne 0$, разделим переменные, умножив на $dx$ и разделив на $g(y)$:

$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$

Теперь, когда переменные разделены, мы можем проинтегрировать обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$

Вычислив оба интеграла, мы получим выражение, связывающее $x$ и $y$, которое называется общим интегралом дифференциального уравнения. Часто это решение получается в неявном виде, то есть не разрешенным относительно $y$.

Пример: Найти общее решение уравнения $y' = \frac{x}{y}$.

Решение:

1. Записываем производную в виде отношения дифференциалов: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$

2. Разделяем переменные: $y dy = x dx$

3. Интегрируем обе части: $\int y dy = \int x dx$

4. Вычисляем интегралы: $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C_1$

Для упрощения вида ответа можно умножить всё на 2 и переобозначить константу ($C = 2C_1$):

$y^2 = x^2 + C$ или $y^2 - x^2 = C$

Это общий интеграл уравнения, представляющий собой семейство гипербол.

Ответ: Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными сводится к приведению его к виду $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$ и последующему интегрированию обеих частей: $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C$.