Страница 358, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Из каких основных этапов состоит простейшая статистическая об-работка данных?

Простейшая статистическая обработка данных — это процесс преобразования исходного набора данных в упорядоченную, наглядную и понятную информацию, на основе которой можно делать выводы. Этот процесс состоит из нескольких последовательных ключевых этапов:

1. Сбор данных

   Это начальный этап, на котором происходит целенаправленный сбор информации (данных), необходимой для исследования. Данные могут быть получены различными способами: путем проведения опросов, наблюдений, экспериментов, измерений или извлечения из существующих источников (например, баз данных, архивов). Важно, чтобы собранные данные были релевантными поставленной задаче, достоверными и достаточно полными для анализа.

2. Систематизация и группировка данных

   После сбора данные, как правило, представляют собой «сырой», неупорядоченный материал. На этом этапе их организуют для дальнейшего анализа. Основные операции включают:

   • Ранжирование — расположение данных в порядке возрастания или убывания их значений.
   • Группировка — объединение данных в классы или группы по какому-либо качественному или количественному признаку (например, группировка учеников по полученным оценкам, товаров по ценовым категориям).
   • Составление таблиц — представление упорядоченных и сгруппированных данных в виде таблиц. Чаще всего создаются частотные таблицы, которые показывают, сколько раз каждое значение (или значение из определенного интервала) встречается в выборке.

3. Наглядное представление данных и расчет обобщающих показателей

   Для лучшего восприятия и выявления закономерностей данные представляют в графическом виде. Для этого строят различные типы диаграмм и графиков:

   • Гистограммы и полигоны частот — для наглядного отображения распределения количественных данных.
   • Столбчатые и круговые диаграммы — для сравнения и отображения структуры качественных (категориальных) данных.

   Одновременно с этим вычисляются основные статистические показатели (характеристики), которые обобщают весь массив данных в нескольких числах:

   • Меры центральной тенденции: среднее арифметическое, мода, медиана. Они указывают на «центр», вокруг которого группируются данные.
   • Меры разброса (вариации): размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Они показывают, насколько сильно данные отличаются друг от друга и от среднего значения.

4. Анализ и интерпретация результатов

   Это заключительный этап, на котором на основе полученных таблиц, графиков и числовых характеристик делаются выводы. Проводится анализ данных: выявляются закономерности, тенденции, аномалии, проверяются гипотезы. Результаты интерпретируются в контексте исходной задачи, что позволяет ответить на поставленный вопрос и принять обоснованные решения.

Ответ: Простейшая статистическая обработка данных состоит из четырех основных этапов: сбор данных, их систематизация и группировка, наглядное представление и расчет обобщающих показателей, а также анализ и интерпретация полученных результатов.

2. В чём состоит упорядочивание и группировка данных?

Упорядочивание и группировка — это два фундаментальных процесса обработки данных, которые помогают структурировать информацию, облегчая её анализ, поиск и понимание. Хотя они решают разные задачи, их часто применяют совместно для достижения наилучшего результата.

Упорядочивание данных

Упорядочивание (или сортировка) — это процесс расположения элементов набора данных в определённой последовательности на основе значения одного или нескольких признаков (ключей сортировки). Главная цель упорядочивания — это приведение данных к виду, в котором их легко просматривать, находить нужные элементы и выявлять крайние значения (минимальные и максимальные).

Основные виды упорядочивания:

• По возрастанию: от меньшего значения к большему. Например, числовой ряд [4, 5, 3, 5, 2] после упорядочивания станет [2, 3, 4, 5, 5].
• По убыванию: от большего значения к меньшему. Тот же ряд станет [5, 5, 4, 3, 2].
• В алфавитном порядке: для текстовых данных. Список ["Москва", "Архангельск", "Самара"] станет ["Архангельск", "Москва", "Самара"].
• В хронологическом порядке: для дат и времени.

Упорядоченные данные значительно ускоряют выполнение таких операций, как поиск (например, бинарный поиск) и слияние наборов данных.

Ответ: Упорядочивание данных заключается в расположении элементов набора данных в определённой последовательности (например, по возрастанию, убыванию или по алфавиту) для облегчения поиска, анализа и восприятия информации.

Группировка данных

Группировка — это процесс разделения множества данных на подмножества (группы) на основе общего значения некоторого категориального признака. Основная цель группировки — это агрегация данных, то есть вычисление итоговых (сводных) показателей для каждой группы, что позволяет анализировать данные на более высоком уровне абстракции.

После того как данные сгруппированы, к каждой группе можно применить агрегирующие функции, такие как:

• Подсчет количества элементов (например, COUNT).
• Вычисление суммы значений (SUM).
• Нахождение среднего арифметического (AVERAGE).
• Определение минимального (MIN) или максимального (MAX) значения.

Например, представим таблицу с данными о сотрудниках:

Сгруппировав эти данные по полю «Отдел», мы можем вычислить среднюю зарплату в каждом из них:

• Группа «Продажи»: средняя зарплата $ = \frac{80000 + 90000}{2} = 85000 $.
• Группа «Разработка»: средняя зарплата $ = \frac{120000 + 150000}{2} = 135000 $.

Это позволяет не просто видеть индивидуальные зарплаты, а сравнивать финансовые показатели отделов в целом.

Ответ: Группировка данных заключается в объединении записей в группы по общему признаку для последующего вычисления сводных статистических показателей (суммы, среднего, количества и т.д.) по каждой группе.

3. Для ряда данных 3, 6, 0, 4, 5, 4, 6, 3, 3, 3, 5, 7, 8, 7, 5, 4, 5, 6, 5, 7, 1 найдите:

Для того чтобы найти статистические характеристики ряда, для начала необходимо упорядочить (ранжировать) его по возрастанию.

Исходный ряд данных: 3, 6, 0, 4, 5, 4, 6, 3, 3, 3, 5, 7, 8, 7, 5, 4, 5, 6, 5, 7, 1.

Упорядоченный ряд данных: 0, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8.

Объём ряда данных — это общее количество элементов в нём. Посчитав количество чисел в исходном ряду, мы определим его объём. В данном ряду 21 элемент.
Ответ: 21.

Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями ряда. Для его нахождения используем упорядоченный ряд.
Максимальное значение: $x_{max} = 8$.
Минимальное значение: $x_{min} = 0$.
Размах вычисляется по формуле: $R = x_{max} - x_{min}$.
$R = 8 - 0 = 8$.
Ответ: 8.

Мода — это значение, которое встречается в ряду данных наиболее часто. Проанализируем частоту появления каждого уникального значения в упорядоченном ряду:
0 — встречается 1 раз
1 — встречается 1 раз
3 — встречается 4 раза
4 — встречается 3 раза
5 — встречается 5 раз
6 — встречается 3 раза
7 — встречается 3 раза
8 — встречается 1 раз
Значение 5 встречается 5 раз, что чаще любого другого значения. Следовательно, мода этого ряда равна 5.
Ответ: 5.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные по количеству элементов части. Поскольку в ряду 21 элемент (нечётное число), медиана будет равна значению, стоящему точно в середине ряда.
Положение медианы в упорядоченном ряду находится по формуле: $N_{медианы} = (n+1)/2$, где $n$ — объём ряда.
$N_{медианы} = (21+1)/2 = 11$.
Следовательно, медиана — это 11-й по счёту элемент в упорядоченном ряду.
Упорядоченный ряд: 0, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8.
11-м элементом в ряду является число 5.
Ответ: 5.

4. Как по сгруппированному ряду данных составить таблицу распределения?

Для составления таблицы распределения по сгруппированному ряду данных необходимо выполнить несколько последовательных шагов. Сгруппированный ряд данных — это уже обработанная информация, где все значения выборки распределены по определенным интервалам (или группам). Таблица распределения позволяет наглядно представить структуру данных, рассчитать их основные характеристики и подготовить для дальнейшего анализа (например, для построения гистограммы или полигона частот).

Рассмотрим процесс на примере.

Шаг 1. Подготовка основы таблицы и внесение исходных данных

Сначала создается структура таблицы. В первые два столбца вносятся данные из сгруппированного ряда:

• Интервалы (группы) $x_i$: Перечисляются все интервалы, на которые разбита выборка.
• Частота $f_i$: Для каждого интервала указывается соответствующая ему частота — количество наблюдений, попавших в этот интервал.

Далее необходимо найти общий объем выборки $N$, который равен сумме всех частот: $N = \sum_{i=1}^{k} f_i$, где $k$ — количество групп.

Шаг 2. Расчет относительной частоты

Относительная частота $w_i$ показывает долю каждой группы в общем объеме выборки. Она рассчитывается для каждого интервала по формуле:

$w_i = \frac{f_i}{N}$

Сумма всех относительных частот всегда должна быть равна 1 (или 100%, если выражать в процентах): $\sum_{i=1}^{k} w_i = 1$. Этот столбец добавляется в таблицу.

Шаг 3. Расчет накопленных частот (кумулятивных частот)

Этот шаг является необязательным, но часто полезен для анализа. Накопленные частоты показывают, какое количество или какая доля наблюдений имеет значение, меньшее или равное верхней границе текущего интервала.

• Накопленная частота для $i$-го интервала вычисляется как сумма частоты этого интервала и всех предыдущих частот. Накопленная частота последней группы всегда равна общему объему выборки $N$.
• Накопленная относительная частота для $i$-го интервала вычисляется как сумма относительной частоты этого интервала и всех предыдущих относительных частот. Накопленная относительная частота последней группы всегда равна 1.

Пример

Предположим, у нас есть сгруппированные данные о результатах тестирования 40 студентов (оценки по 50-балльной шкале):

• Интервал [0, 10): 2 студента
• Интервал [10, 20): 5 студентов
• Интервал [20, 30): 12 студентов
• Интервал [30, 40): 15 студентов
• Интервал [40, 50]: 6 студентов

Общий объем выборки: $N = 2 + 5 + 12 + 15 + 6 = 40$.

Теперь составим таблицу распределения, выполнив необходимые расчеты.

Расчет относительных частот ($w_i = f_i / 40$):

• Для [0, 10): $w_1 = 2 / 40 = 0.05$
• Для [10, 20): $w_2 = 5 / 40 = 0.125$
• Для [20, 30): $w_3 = 12 / 40 = 0.30$
• Для [30, 40): $w_4 = 15 / 40 = 0.375$
• Для [40, 50]: $w_5 = 6 / 40 = 0.15$

Проверка: $0.05 + 0.125 + 0.30 + 0.375 + 0.15 = 1.0$.

Расчет накопленных частот:

• Для [0, 10): 2
• Для [10, 20): $2 + 5 = 7$
• Для [20, 30): $7 + 12 = 19$
• Для [30, 40): $19 + 15 = 34$
• Для [40, 50]: $34 + 6 = 40$

Расчет накопленных относительных частот:

• Для [0, 10): 0.05
• Для [10, 20): $0.05 + 0.125 = 0.175$
• Для [20, 30): $0.175 + 0.30 = 0.475$
• Для [30, 40): $0.475 + 0.375 = 0.850$
• Для [40, 50]: $0.850 + 0.15 = 1.0$

Итоговая таблица распределения будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Чтобы составить таблицу распределения по сгруппированному ряду данных, необходимо создать таблицу, в которую вносятся заданные интервалы и их частоты. Затем для каждого интервала вычисляется относительная частота путем деления частоты интервала на общий объем выборки. При необходимости также вычисляются накопленные (кумулятивные) частоты и накопленные относительные частоты путем последовательного суммирования значений в соответствующих столбцах.

5. Как по таблице распределения вычислить среднее (среднее арифметическое) ряда данных?

Для вычисления среднего арифметического значения ряда данных по таблице распределения (частотной таблице), необходимо найти так называемое взвешенное среднее. Таблица распределения показывает, какие значения (варианты) и сколько раз (с какой частотой) встречаются в наборе данных. Алгоритм вычисления среднего следующий:

1. Найти произведения: Для каждой строки таблицы необходимо умножить значение варианты ($x_i$) на её частоту ($n_i$). Частота показывает, сколько раз данное значение встречается в ряду.

2. Найти сумму произведений: Нужно сложить все произведения, которые были получены на первом шаге. Эта сумма ($\sum x_i n_i$) представляет собой сумму всех значений в исходном ряде данных.

3. Найти общее количество данных: Необходимо сложить все частоты из таблицы ($\sum n_i$). Эта сумма равна общему количеству элементов (наблюдений) в ряде данных, которое обозначается как $N$.

4. Вычислить среднее арифметическое: Разделить сумму произведений, полученную в шаге 2, на общее количество данных, полученное в шаге 3.

Этот процесс описывается общей формулой для среднего арифметического взвешенного:

$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$

где:

• $\bar{x}$ – среднее арифметическое;
• $x_i$ – $i$-е значение (варианта) в таблице;
• $n_i$ – частота $i$-го значения;
• $k$ – количество различных значений (вариант).

Пример:

Предположим, у нас есть таблица распределения размеров обуви, проданных за день:

Размер ($x_i$): 38 | 39 | 40 | 41 | 42
Количество пар (частота $n_i$): 5 | 8 | 12 | 7 | 3

Вычислим средний проданный размер обуви:

1. Найдём произведения размера на его частоту:
$38 \cdot 5 = 190$
$39 \cdot 8 = 312$
$40 \cdot 12 = 480$
$41 \cdot 7 = 287$
$42 \cdot 3 = 126$

2. Сложим полученные произведения:
$190 + 312 + 480 + 287 + 126 = 1395$

3. Сложим все частоты, чтобы найти общее количество проданных пар:
$5 + 8 + 12 + 7 + 3 = 35$

4. Разделим сумму произведений на сумму частот:
$\bar{x} = \frac{1395}{35} \approx 39.86$

Таким образом, средний размер проданной обуви составляет примерно 39.86.

Ответ: Чтобы вычислить среднее арифметическое по таблице распределения, нужно найти сумму произведений каждого значения на его частоту и разделить полученную сумму на сумму всех частот. Формула для расчёта: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$.

6. Дайте определение частоты варианты. Почему частота не может быть больше 1?

Дайте определение частоты варианты. В статистике, при анализе данных, различают два понятия частоты: абсолютную и относительную.

Абсолютная частота варианты (или просто частота) – это число, которое показывает, сколько раз конкретное значение (варианта) встречается в исследуемом наборе данных (выборке). Например, если в классе из 25 учеников 10 получили оценку "хорошо", то абсолютная частота варианты "хорошо" равна 10.

Относительная частота варианты – это отношение абсолютной частоты данной варианты к общему числу наблюдений в выборке. Она выражает долю, которую составляет данная варианта от всего объема данных. Относительная частота часто выражается в виде десятичной дроби или в процентах.
Формула для расчета относительной частоты:
$W = \frac{n}{N}$
где $W$ – относительная частота, $n$ – абсолютная частота варианты, а $N$ – общее число наблюдений (объем выборки).

Ответ: Частота варианты — это мера того, как часто встречается определенное значение в наборе данных. Различают абсолютную частоту (количество появлений) и относительную частоту (доля появлений от общего числа данных, вычисляемая как отношение абсолютной частоты к объему выборки).

Почему частота не может быть больше 1? Этот вопрос относится к относительной частоте, поскольку абсолютная частота (количество появлений значения) может быть любым целым неотрицательным числом.

Относительная частота определяется по формуле $W = \frac{n}{N}$. В этой формуле:

• $n$ – это абсолютная частота, то есть количество раз, когда встречается интересующая нас варианта. Это всегда неотрицательное целое число.
• $N$ – это общий объем выборки, то есть общее количество всех наблюдений. Это положительное целое число.

По своему логическому смыслу, количество появлений одного конкретного значения ($n$) не может быть больше, чем общее количество всех значений в наборе данных ($N$). Значение $n$ является частью целого $N$. В крайнем случае, если все элементы выборки одинаковы, то $n$ будет равно $N$.

Следовательно, всегда выполняется неравенство:
$0 \le n \le N$

Чтобы найти относительную частоту, мы делим все части этого двойного неравенства на $N$. Так как $N$ — положительное число ($N>0$), знаки неравенства не изменяются:
$\frac{0}{N} \le \frac{n}{N} \le \frac{N}{N}$
Что приводит к следующему:
$0 \le W \le 1$

Таким образом, математически доказано, что относительная частота всегда является числом в диапазоне от 0 до 1 включительно. Она равна 0, если варианта не встречается вовсе, и равна 1, если все элементы выборки состоят только из этой варианты.

Ответ: Относительная частота не может быть больше 1, потому что она представляет собой отношение части (числа появлений конкретной варианты) к целому (общему числу всех наблюдений в данных), а часть не может быть больше целого.