Номер 8, страница 359, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §50. ч. 1 - номер 8, страница 359.

8. Сформулируйте алгоритм вычисления дисперсии ряда данных.

Дисперсия — это мера разброса данных в ряде. Она показывает, насколько в среднем значения отклоняются от среднего арифметического. Алгоритм вычисления дисперсии состоит из следующих шагов:

1. Найти среднее арифметическое ряда данных.

   Для ряда данных $X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$, где $n$ — количество элементов, среднее арифметическое (математическое ожидание) $\bar{x}$ вычисляется по формуле:

   $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

2. Вычислить отклонение каждого элемента от среднего.

   Для каждого элемента $x_i$ в ряду данных находится разность между этим элементом и средним арифметическим, вычисленным на первом шаге: $(x_i - \bar{x})$.

3. Возвести каждое отклонение в квадрат.

   Квадрат отклонения для каждого элемента вычисляется как $(x_i - \bar{x})^2$. Возведение в квадрат позволяет избавиться от отрицательных значений (поскольку некоторые данные будут меньше среднего, а некоторые — больше) и придать больший "вес" значительным отклонениям.

4. Найти сумму квадратов отклонений.

   Все значения, полученные на предыдущем шаге, суммируются:

   $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

5. Вычислить среднее значение квадратов отклонений (собственно, дисперсию).

   Сумма квадратов отклонений, полученная на шаге 4, делится на количество элементов. Этот результат и является дисперсией (обозначается как $\sigma^2$ или $D(X)$).

   $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Важное примечание о генеральной совокупности и выборке:

Выбор знаменателя в последнем шаге ( $n$ или $n-1$ ) зависит от того, представляют ли ваши данные всю совокупность или только её часть (выборку).

• Если ряд данных — это генеральная совокупность (т.е. все возможные данные по изучаемому вопросу), используется формула со знаменателем $n$. Эта дисперсия называется смещённой.

• Если ряд данных — это выборка из генеральной совокупности (что чаще встречается на практике), то для получения несмещённой оценки дисперсии всей совокупности используется так называемая выборочная (или исправленная) дисперсия $s^2$. Она рассчитывается с использованием знаменателя $n-1$ (поправка Бесселя):

  $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

Ответ: Алгоритм вычисления дисперсии для ряда данных $X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ включает следующие шаги: 1. Найти среднее арифметическое ряда $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$. 2. Для каждого элемента $x_i$ найти квадрат его отклонения от среднего: $(x_i - \bar{x})^2$. 3. Просуммировать все полученные квадраты отклонений: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. 4. Разделить полученную сумму на количество элементов $n$ для вычисления дисперсии генеральной совокупности ($\sigma^2$) или на $n-1$ для вычисления несмещённой выборочной дисперсии ($s^2$).