Страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Укажите основные методы решения уравнений с одной переменной.

Метод равносильных преобразований

Это основной и наиболее часто используемый метод, суть которого заключается в последовательной замене исходного уравнения другим, более простым уравнением, имеющим то же самое множество корней (то есть равносильным исходному). Переход к равносильному уравнению обеспечивается выполнением тождественных преобразований, не изменяющих область допустимых значений (ОДЗ) переменной, или с учетом этих изменений.

Основные равносильные преобразования:
1. Перенос любого члена уравнения из одной части в другую с противоположным знаком.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
3. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, если оно не обращается в нуль и не теряет смысл в ОДЗ исходного уравнения.
4. Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень.

Пример: Решить уравнение $5(x-1) - 2(x+3) = 1$.
Раскроем скобки: $5x - 5 - 2x - 6 = 1$.
Приведем подобные слагаемые в левой части: $3x - 11 = 1$.
Перенесем $-11$ в правую часть: $3x = 1 + 11$.
$3x = 12$.
Разделим обе части на 3: $x = 4$.

Ответ: Метод состоит в упрощении уравнения с помощью преобразований, сохраняющих множество решений. Корень уравнения $5(x-1) - 2(x+3) = 1$ равен $4$.

Метод разложения на множители

Данный метод применяется к уравнениям вида $f(x)=0$. Идея состоит в том, чтобы представить выражение $f(x)$ в виде произведения нескольких множителей: $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dots \cdot f_n(x) = 0$. Так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, решение исходного уравнения сводится к решению совокупности более простых уравнений: $f_1(x)=0$, $f_2(x)=0$, ..., $f_n(x)=0$. Объединение корней этих уравнений (с учетом ОДЗ) и будет решением исходного уравнения.

Пример: Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^3 + 2x^2) - (9x + 18) = 0$.
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: $x^2(x+2) - 9(x+2) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x+2)$: $(x+2)(x^2 - 9) = 0$.
Применим формулу разности квадратов: $(x+2)(x-3)(x+3) = 0$.
Получаем совокупность уравнений:
$x+2=0 \implies x_1 = -2$
$x-3=0 \implies x_2 = 3$
$x+3=0 \implies x_3 = -3$

Ответ: Метод заключается в представлении уравнения в виде произведения, равного нулю, что позволяет свести его к совокупности более простых уравнений. Корни уравнения $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$ равны $-3, -2, 3$.

Метод введения новой переменной (метод замены)

Этот метод используется для упрощения сложных уравнений путем замены некоторого повторяющегося выражения новой переменной. В результате такой замены исходное уравнение сводится к более простому, стандартному виду (например, к квадратному или линейному). После нахождения значений новой переменной необходимо выполнить обратную замену и найти значения исходной переменной.

Пример: Решить уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $t^2 - 13t + 36 = 0$.
Решаем полученное квадратное уравнение (например, по теореме Виета): $t_1 = 4$, $t_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполняем обратную замену:
1) $x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} \implies x_{1,2} = \pm 2$.
2) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x_{3,4} = \pm 3$.

Ответ: Метод упрощает уравнение путем замены повторяющегося выражения на новую переменную. После решения полученного простого уравнения выполняется обратная замена. Корни уравнения $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ равны $-3, -2, 2, 3$.

Функционально-графический метод

Метод основан на использовании графических представлений. Уравнение вида $f(x) = g(x)$ решается построением в одной системе координат графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями исходного уравнения. Метод особенно полезен для определения количества корней, нахождения их приближенных значений или для нахождения "очевидных" целочисленных корней с последующей проверкой.

Пример: Решить уравнение $\sqrt{x} = 8 - x$.
Рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 8 - x$.
Построим их графики. $y_1 = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат. $y_2 = 8 - x$ — прямая линия. Из графика видно, что функции пересекаются в одной точке. Можно предположить, что корень является целым числом. Проверим подбором: Пусть $x=4$. Тогда $y_1 = \sqrt{4} = 2$, а $y_2 = 8 - 4 = 4$. $2 \ne 4$. Поскольку $y_1(4) < y_2(4)$, а функция $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, корень должен быть больше 4. Попробуем $x=5$: $\sqrt{5} \approx 2.23$, $8-5=3$. Ближе. Пусть $x=...$ (На самом деле, корень не целый. Давайте изменим пример на более наглядный).
Новый пример: $\sqrt{x+1} = 3-x$.
Строим графики $y=\sqrt{x+1}$ и $y=3-x$. Функция $y=\sqrt{x+1}$ возрастает при $x \ge -1$, а $y=3-x$ убывает. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим $x=3$: $\sqrt{3+1} = \sqrt{4}=2$, и $3-3=0$. Неверно. Подберем $x=3$: $\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$, и $3-3=0$. Неверно. Попробуем $x=3$: $\sqrt{3+1} = 2$, $3-3=0$. $2 \neq 0$. Попробуем $x=8$: $\sqrt{8+1}=3$, $3-8=-5$. $3 \neq -5$. Let's check the first example again. $\sqrt{x}=x-2$. $x=4$ gives $\sqrt{4}=2$ and $4-2=2$. This is a better example. Let's use $x-2$. Новый пример: $\sqrt{x} = x-2$. Строим графики $y=\sqrt{x}$ и $y=x-2$. Функция $y=\sqrt{x}$ возрастает при $x \ge 0$, а $y=x-2$ также возрастает. Но их скорости роста разные. Из графика видно, что есть одна точка пересечения. Подбором легко найти корень $x=4$: $\sqrt{4}=2$ и $4-2=2$. Равенство верное.

Ответ: Метод заключается в нахождении абсцисс точек пересечения графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Корень уравнения $\sqrt{x} = x-2$ равен $4$.

Метод использования свойств функций (монотонность, ограниченность и др.)

Этот метод применяется к нестандартным уравнениям, которые сложно или невозможно решить алгебраическими методами. Он основан на анализе свойств функций, входящих в уравнение.

1. Использование монотонности. Если одна из функций $f(x)$ или $g(x)$ в уравнении $f(x)=g(x)$ строго возрастает, а другая — строго убывает, то такое уравнение может иметь не более одного корня. Если корень удается найти подбором, то он будет единственным.
Пример: $2^x = 3-x$. Функция $y=2^x$ строго возрастает, а $y=3-x$ строго убывает. Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим $x=1$: $2^1 = 2$ и $3-1 = 2$. Равенство верно, значит $x=1$ — единственный корень.

2. Использование ограниченности (метод оценки). Если для уравнения $f(x)=g(x)$ можно показать, что для всех $x$ из ОДЗ выполняются неравенства $f(x) \le A$ и $g(x) \ge A$ (или наоборот), то равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $A$. То есть решение сводится к системе $\begin{cases} f(x)=A \\ g(x)=A \end{cases}$.
Пример: $\sin(\pi x) = x^2 - 4x + 5$.
Оценим левую и правую части. Левая часть: $-1 \le \sin(\pi x) \le 1$.
Правая часть: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$, то $(x-2)^2 + 1 \ge 1$.
Итак, мы имеем $f(x) = \sin(\pi x) \le 1$ и $g(x) = (x-2)^2+1 \ge 1$.
Равенство $f(x)=g(x)$ возможно, только если $f(x)=1$ и $g(x)=1$ одновременно. $\begin{cases} \sin(\pi x) = 1 \\ (x-2)^2 + 1 = 1 \end{cases}$ Из второго уравнения системы: $(x-2)^2 = 0 \implies x=2$. Подставим этот корень в первое уравнение: $\sin(2\pi) = 0$. Так как $0 \ne 1$, система не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Метод основан на анализе области значений, монотонности и других свойств функций. Уравнение $\sin(\pi x) = x^2 - 4x + 5$ не имеет корней, так как области значений левой и правой частей пересекаются только в одной точке, которая не удовлетворяет уравнению.

2. В чём состоит метод разложения на множители при решении уравнений с одной переменной?

Метод разложения на множители при решении уравнений с одной переменной заключается в преобразовании исходного уравнения к виду, где одна из частей равна нулю, а другая представляет собой произведение нескольких выражений (множителей).

Этот метод основан на фундаментальном свойстве чисел: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Таким образом, уравнение вида $f(x) = 0$ после разложения левой части на множители принимает вид: $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x) = 0$

Решение такого уравнения сводится к решению совокупности более простых уравнений: $f_1(x) = 0$
$f_2(x) = 0$
...
$f_n(x) = 0$

Корни исходного уравнения являются объединением корней всех этих простых уравнений. При этом важно, чтобы для каждого найденного корня все множители в разложенном уравнении были определены (имели смысл).

Алгоритм решения уравнения методом разложения на множители:

1. Перенести все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался нуль.
2. Разложить полученное выражение в левой части на множители, используя различные алгебраические методы (вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения, метод группировки и т.д.).
3. Приравнять каждый из полученных множителей к нулю.
4. Решить каждое из этих новых, более простых уравнений.
5. Объединить все найденные корни — это и будет решение исходного уравнения.

Пример:

Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 3x = 0$.

1. Уравнение уже имеет вид $f(x) = 0$.
2. Разложим левую часть на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 2x - 3) = 0$
Теперь разложим квадратный трёхчлен $x^2 + 2x - 3$ на множители. Для этого найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Тогда $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x - (-3)) = (x-1)(x+3)$.
Исходное уравнение принимает вид:
$x(x - 1)(x + 3) = 0$
3. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x + 3 = 0$.
4. Решаем каждое уравнение:
$x_1 = 0$
$x_2 = 1$
$x_3 = -3$
5. Все найденные значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: Метод разложения на множители позволяет свести решение сложного уравнения к решению нескольких более простых уравнений, основываясь на том, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Для этого уравнение приводят к виду $f(x) = 0$, затем выражение $f(x)$ раскладывают на множители и каждый из них приравнивают к нулю.