Номер 8.12, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.12, страница 26.

8.12 В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $c$ и острый угол $\alpha^\circ$. Найдите длины катетов, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если:

a) $c = 12, \alpha = 60^\circ;$

б) $c = 6, \alpha = 45^\circ;$

в) $c = 4, \alpha = 30^\circ;$

г) $c = 60, \alpha = 60^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся основными соотношениями в прямоугольном треугольнике. Пусть $c$ – гипотенуза, $a$ и $b$ – катеты, $\alpha$ – один из острых углов. Обозначим катет, противолежащий углу $\alpha$, как $a$, и катет, прилежащий к углу $\alpha$, как $b$.

Длины катетов можно найти с помощью тригонометрических функций:
$a = c \cdot \sin(\alpha)$
$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы:
$R = \frac{c}{2}$

---

а) c = 12, α = 60°

1. Длины катетов:
$a = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$
$b = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: длины катетов равны $6$ и $6\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $18\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $6$.

---

б) c = 6, α = 45°

1. Длины катетов:
$a = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
$b = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
(Треугольник является равнобедренным, так как второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$).

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: длины катетов равны $3\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$, площадь треугольника равна $9$, радиус описанной окружности равен $3$.

---

в) c = 4, α = 30°

1. Длины катетов:
$a = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$
$b = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: длины катетов равны $2$ и $2\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $2\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $2$.

---

г) c = 60, α = 60°

1. Длины катетов:
$a = 60 \cdot \sin(60^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$
$b = 60 \cdot \cos(60^\circ) = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 30 = 450\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{60}{2} = 30$

Ответ: длины катетов равны $30$ и $30\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $450\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $30$.